针对您提出的“乡镇生活垃圾非法倾倒由哪个部门处罚”的问题，以下是我的详细解答：

首先，我们需要明确的是，生活垃圾的非法倾倒行为主要受到《中华人民共和国固体废物污染环境防治法》的规范。根据该法第一百一十一条第一款第一项的规定，随意倾倒、抛撒、堆放或者焚烧生活垃圾的行为，是由县级以上地方人民政府环境卫生主管部门负责责令改正，并处以罚款，同时没收违法所得。

这一规定明确了处罚的主体是县级以上地方人民政府环境卫生主管部门，也就是我们通常所说的城管部门或者环卫部门。这些部门在各自的职责范围内，负责监督和管理生活垃圾的处置行为，确保生活垃圾得到合法、合规的处理。

此外，虽然您提到的是乡镇生活垃圾非法倾倒，但这一规定同样适用于乡镇地区。因为无论是城市还是乡镇，生活垃圾的非法倾倒行为都会对环境造成污染，破坏生态平衡，影响居民的生活质量。因此，县级以上地方人民政府环境卫生主管部门在乡镇地区同样有权对非法倾倒生活垃圾的行为进行处罚。

为了更具体地说明这一点，我可以引用一些地方性法规的例子。比如，《郑州市城市市容和环境卫生管理条例》就明确规定了清运垃圾应当遵守的规定，以及违反这些规定所应受到的处罚。虽然这是郑州市的地方性法规，但它同样体现了生活垃圾非法倾倒行为应受到环境卫生主管部门处罚的原则。

综上所述，乡镇生活垃圾非法倾倒的行为，应由县级以上地方人民政府环境卫生主管部门进行处罚。如果您在乡镇地区发现了生活垃圾非法倾倒的行为，可以向当地的城管部门或者环卫部门进行举报，他们会依法对违法行为进行查处。