公司法定代表人是否承担刑事责任，需根据具体情况判断，但存在承担刑事责任的可能性。以下从不同角度进行分析：
一、刑事责任的基础：法定代表人的职责与安全生产法规
根据《中华人民共和国安全生产法》及相关司法解释，企业的法定代表人作为安全生产的第一责任人，对企业的安全生产工作负有全面责任。这包括确保企业遵守安全生产法律法规、建立健全安全生产责任制、组织制定并实施安全生产规章制度和操作规程等。
如果项目经理私自开工导致重大安全生产事故，而法定代表人未能履行其安全生产管理职责，如未对项目经理的开工行为进行有效监督、未及时发现并纠正安全隐患等，那么法定代表人可能因涉嫌重大责任事故罪而承担刑事责任。
二、刑事责任的构成要件
要构成重大责任事故罪，需满足以下几个要件：
- 行为主体：通常是企业的直接负责的主管人员和其他直接责任人员，包括法定代表人。
- 主观方面：表现为过失，即应当预见自己的行为可能发生危害社会的结果，因为疏忽大意而没有预见，或者虽然已经预见但轻信能够避免。
- 客观方面：在生产、作业中违反有关安全管理的规定，因而发生重大伤亡事故或者造成其他严重后果。
- 因果关系：行为人的违法行为与事故的发生之间存在直接的因果关系。
三、法定代表人可能的具体情形
如果法定代表人明知项目经理私自开工而未制止：
- 这种情况下，法定代表人可能因故意或重大过失而承担刑事责任。因为法定代表人作为安全生产的第一责任人，有义务确保企业的生产活动符合安全生产法规的要求。
如果法定代表人不知情，但存在管理疏忽：
- 即使法定代表人不知情，但如果其未能建立健全安全生产管理制度、未能对项目经理进行有效监督等，导致项目经理能够私自开工并引发事故，法定代表人仍可能因管理疏忽而承担一定的刑事责任。不过，这种情况下责任可能相对较轻，且需要具体分析管理疏忽的程度与事故后果的严重性之间的关系。
如果法定代表人已尽到合理管理义务：
- 如果法定代表人已经尽到了合理的管理义务，如制定了完善的安全生产规章制度、对项目经理进行了充分的安全培训、定期进行了安全检查等，但项目经理仍然私自开工并引发事故，那么法定代表人可能不承担刑事责任。不过，这种情况下需要充分的证据来证明法定代表人已经尽到了合理的管理义务。
四、法律建议
- 加强安全生产管理：企业应建立健全安全生产管理制度，明确各级管理人员的职责和权限，确保生产活动符合安全生产法规的要求。
- 加强监督与检查：法定代表人应定期对企业的生产活动进行监督和检查，及时发现并纠正安全隐患，防止事故的发生。
- 加强培训与教育：企业应加强对员工的安全培训和教育，提高员工的安全意识和操作技能，减少事故的发生。
- 及时应对事故：一旦发生事故，企业应立即启动应急预案，采取有效措施进行救援和处理，并及时向有关部门报告。同时，企业应积极配合有关部门的调查和处理工作，如实提供有关情况和资料。
如果遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会结合具体情况为你提供更详细的法律分析和建议。