有案底，且该案底不会因时间经过而消除。具体分析如下：

1. 案底的定义与性质
   案底通常指犯罪记录，即经法院判决有罪后形成的刑事犯罪档案。虚开发票行为若构成犯罪（如《刑法》第二百零五条规定的虚开增值税专用发票罪），被法院判决有罪后，相关记录会永久保存在公安机关的犯罪信息系统中，不会因时间推移自动消除。

2. 行政处罚与刑事处罚的区别
   若13年前的处罚是行政处罚（如税务机关罚款、没收违法所得等），则属于行政违法记录，而非刑事案底。但根据问题描述“被处罚过”且提及“前科”，更可能涉及刑事犯罪（行政处罚一般不称“前科”）。若确为刑事处罚，则案底永久存在。

3. 案底的影响范围

   • 刑事案底：会影响本人及直系亲属的政审（如公务员考试、入伍、入党等），部分职业（如律师、法官、金融从业者）可能因政审不通过受限。
     
   • 行政违法记录：一般仅影响个人信用或特定行业准入（如税务黑名单），但不会影响政审。

4. 特殊情况说明
   若当时行为未达到刑事犯罪标准（如虚开发票金额较小、未造成税款损失），仅被行政处罚，则无刑事案底。但需结合具体案情判断，例如：

   • 虚开税款数额10万元以上或造成国家税款损失5万元以上，通常构成刑事犯罪；
     
   • 数额较小或情节轻微，可能仅受行政处罚。

建议：若需确认具体记录性质（刑事/行政），可携带身份证到户籍地公安机关查询犯罪记录，或委托律师调取档案。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律问题。