当申请执行人在执行期间死亡时，案件并不会自动终结，而是需要根据相关法律法规进行一系列的处理，以确保权利继受人的合法权益得到维护。以下是对此问题的详细解答：

一、确定权利继受人

首先，需要确定申请执行人的权利继受人。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，遗嘱执行人、受遗赠人、继承人或其他依法承受生效法律文书确定权利的主体，均可成为新的申请执行人。通常，法定继承人包括配偶、子女、父母等近亲属。这一步骤是后续流程的基础，确保权利继受人的合法性和适格性。

二、准备并提交相关材料

权利继受人需要准备以下关键材料以继续申请执行：

1. 身份证明：包括身份证、户口本等有效证件，以证明自己的身份。
2. 亲属关系证明：如公安机关出具的亲属关系证明、户口本、结婚证等，以证明与原申请执行人的关系。
3. 继承证明：遗嘱、遗产分割协议、法院关于继承的判决书或调解书等，以证明自己的继承权。
4. 执行申请书：明确申请执行的事项、理由及请求，说明原申请执行人已死亡，现由权利继受人继续申请执行。
5. 原执行依据：即法院作出的生效判决书、裁定书、调解书等法律文书，作为继续执行的依据。

这些材料应提交给原执行法院，通常可通过现场提交或邮寄方式完成。

三、法院审查与处理

法院收到申请后，将进行严格的审查，主要包括：

• 审查申请人是否为适格的权利继受人：即确认申请人是否具备继承原申请执行人权利的资格。
• 审查提交的材料是否真实、合法、有效：包括身份证明、亲属关系证明、继承证明等。

审查结果可能包括：

• 符合条件：若审查通过，法院将裁定变更申请执行主体，将权利继受人列为新的申请执行人，并继续执行程序。此时，可能还会涉及对原执行请求的审查和调整，以确保新申请执行人的请求合法合理。
• 不符合条件：若不符合条件，法院将裁定驳回申请，并说明理由。权利继受人如对裁定不服，可依法申请复议或采取其他法律救济途径。

四、继续执行程序

一旦法院裁定变更申请执行主体，新的申请执行人即可按照正常的执行程序要求法院采取相应的执行措施，如查询、冻结、划拨被执行人的财产，查封、扣押、拍卖被执行人的物品等，以实现生效法律文书确定的权益。在此过程中，新的申请执行人享有原来申请执行人的所有权利，并承担相应的义务。

五、注意事项

• 具体操作流程可能因地区和具体案件而有所不同：建议权利继受人在处理此类案件时，咨询专业律师或法律机构，以确保流程的准确性和合法性。
• 权利继受人应密切关注法院的通知和裁定：及时配合法院的工作，如提供必要的协助和信息，以确保执行程序的顺利进行。

综上所述，当申请执行人在执行期间死亡时，其权利继受人可以通过遵循上述法律流程和提交必要材料来继续申请执行。这一过程虽涉及多个环节，但只要严格按照法律规定操作，即可有效维护自身的合法权益。