结论：第三者和原配老公同居一个月，不一定构成重婚罪，是否构成重婚罪需要结合具体情形来判断。

法律背景与解释

重婚罪，是指有配偶又与他人结婚或者明知他人有配偶而与之结婚的行为。根据《中华人民共和国刑法》第二百五十八条的规定，有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的，处二年以下有期徒刑或者拘役。这里的关键在于“结婚”的行为，而不仅仅是同居。

具体情形分析

1. 以夫妻名义同居：

   • 如果第三者和原配老公在同居期间，以夫妻名义共同生活，比如对外宣称是夫妻、共同参加社交活动、以夫妻名义办理相关手续等，那么这种行为很可能构成重婚罪。因为这种行为已经超出了单纯的同居范畴，具有了“结婚”的实质特征。

2. 不以夫妻名义同居：

   • 如果第三者和原配老公只是秘密地同居，没有以夫妻名义共同生活，那么这种行为通常不构成重婚罪。虽然这种行为在道德上可能受到谴责，但在法律上并不构成犯罪。不过，如果这种同居行为导致了原配夫妻感情的破裂，原配一方在离婚时可以据此主张更多的财产权益或精神损害赔偿。

法律建议

• 对于原配一方：如果发现配偶与第三者同居，并且怀疑他们可能构成重婚罪，建议收集相关证据，如照片、视频、证人证言等，以证明他们是以夫妻名义共同生活的。然后，可以向公安机关报案或向人民法院提起刑事自诉，要求追究他们的刑事责任。
• 对于第三者：如果与有配偶的人同居，并且意识到这种行为可能构成重婚罪，建议立即停止这种行为，并避免与对方以夫妻名义共同生活。否则，一旦构成重婚罪，将面临法律的制裁。

可能的法律后果

• 如果构成重婚罪，第三者和原配老公都将面临二年以下有期徒刑或者拘役的刑事处罚。
• 如果不构成重婚罪，但同居行为导致了原配夫妻感情的破裂，原配一方在离婚时可以据此主张更多的财产权益或精神损害赔偿。

最后，每个案件的具体情况都有所不同，因此在处理类似问题时，建议根据实际情况咨询专业律师，以便得到更准确、更全面的法律建议。如果你有任何关于婚姻家庭方面的法律问题，都可以直接向我咨询。