当您与公司签订的第二份劳动合同到期后，公司是否可以选择不续签，以及这一行为是否合法，确实取决于多种具体情况。以下是对这一问题的详细解析，希望能帮助您更好地理解并维护自己的权益。
一、合法不续签的情况
- 单位维持或提高条件续订，劳动者不同意：
- 如果公司在劳动合同期满后，维持或提高了原劳动合同约定的条件（如薪资待遇、福利等），并向您提出续订请求，但您拒绝续签，此时公司选择不续签是合法的，且无需支付经济补偿金。
二、不合法不续签的情况及法律后果
单位降低条件续订：
- 若公司降低了原劳动合同约定的条件，导致您不愿续签，公司的不续签行为可能构成违法。在此情况下，公司需向您支付经济补偿金，计算方式为每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
单位未提前说明续签意向：
- 如果公司未在劳动合同期满前与您明确续签意向，导致您未能及时做出反应，公司的后续不续签决定也可能被视为违法，并需承担经济补偿责任。
劳动者无过错，单位无正当理由拒绝续签：
- 在您不存在《劳动合同法》规定的用人单位可解除劳动合同情形（如严重违反规章制度、失职等）的前提下，若公司无正当理由拒绝续签劳动合同，这同样构成违法行为。您有权要求公司继续履行劳动合同，或在不要求继续履行、劳动合同已无法继续履行的情况下，要求公司支付相当于经济补偿金二倍的赔偿金。
三、特殊情形下不续签的限制
女职工处于“三期”：
- 如您是女职工，且在孕期、产期、哺乳期，劳动合同期满时，公司不能以合同到期为由不续签，而应续延至相应情形消失时终止。
劳动者因工负伤或患职业病：
- 根据您的工伤程度，公司有不同的续签义务。例如，若您被鉴定为一级至四级伤残，公司应保留劳动关系并退出工作岗位；若为五级、六级伤残，公司应安排适当工作，难以安排的按月发给伤残津贴；若为七级至十级伤残，虽可在劳动合同期满时终止合同，但公司仍需支付一次性工伤医疗补助金和伤残就业补助金。
劳动者连续工作满十五年且距退休不足五年：
- 在这种情况下，即使劳动合同期满，公司也不得因合同到期而不续签，而应延续至您退休。
四、您的应对措施
与公司协商：
- 您可以主动与公司的人力资源部门或管理层进行沟通，了解不续签的具体原因，并尝试协商是否有可能继续留任或获得更好的离职补偿方案。
要求支付经济补偿金：
- 若协商无果，您有权要求公司按照法律规定支付经济补偿金。经济补偿金的计算基数为您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
申请劳动仲裁：
- 如果公司拒绝支付经济补偿金或双方对补偿金额存在争议，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，需要提交相关证据材料，如劳动合同、工资条、工作证等，以证明劳动关系和经济补偿金的计算依据。
提起诉讼：
- 若对仲裁结果不满意，您还可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，法院将根据双方提供的证据和法律规定进行审理并作出判决。
保留证据：
- 在整个过程中，您应妥善保留所有与劳动关系相关的证据材料，以备不时之需。
五、注意事项
- 及时行动：您应在合同到期后及时与公司沟通并采取相应的法律措施，以免错过维权时机。
- 了解法律程序：在申请仲裁或提起诉讼前，建议您咨询专业律师或法律援助机构，了解具体的法律程序和维权途径。
- 保持冷静理性：在处理此类问题时，您应保持冷静和理性，避免采取过激行为或言论，以免影响维权效果。
综上所述，劳动合同到期公司是否可以选择不续签以及是否需要支付经济补偿金等问题，均应根据具体情况来判断。希望以上信息能帮助您更好地理解并维护自己的权益。