结论：房东没有签合同，租客在一定条件下是可以要求退租的，但具体能否退租以及退租的方式和后果，需要根据实际情况和法律规定来判断。
分析说明：
未签订书面租赁合同的情况：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式。当事人未采用书面形式，无法确定租赁期限的，视为不定期租赁。
- 在不定期租赁的情况下，租客和房东都有权随时解除合同，但应当在合理期限之前通知对方。
租客要求退租的情况：
- 如果租客因为个人原因（如工作调动、家庭变故等）需要提前退租，即使没有签订书面合同，也可以与房东协商解除租赁关系。在协商一致的情况下，租客可以按照双方约定的方式退租。
- 如果房东存在违约行为（如未提供符合约定的居住条件、擅自提高租金等），租客有权要求解除合同并退租。在这种情况下，租客还可以要求房东承担违约责任。
退租的方式和后果：
- 如果双方协商一致解除租赁关系，租客应当按照约定将房屋交还给房东，并结清相关费用（如租金、水电费等）。
- 如果因为房东的违约行为导致租客退租，租客有权要求房东退还已支付的租金和押金，并可能要求房东支付违约金或赔偿损失。
- 如果租客未经房东同意擅自退租，可能构成违约行为，需要承担违约责任。房东有权要求租客继续履行合同或支付违约金。
特殊场景：
- 如果租客已经支付了押金，且合同中没有明确约定押金的处理方式，那么在退租时，双方应当协商押金的处理。一般来说，如果租客没有造成房屋损坏或欠缴费用等情况，房东应当退还押金。
- 如果租客在租赁期间对房屋进行了装修或改造，且未经房东同意，那么在退租时，租客可能需要恢复原状或承担相应的赔偿责任。
行动建议：
- 如果租客想要退租，建议首先与房东进行协商，明确退租的时间、方式以及相关费用的结算等问题。
- 如果协商不成，租客可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及如何通过法律途径维护自己的合法权益。
后续思考依据：
- 在处理此类问题时，需要仔细审查租赁关系的实际情况和双方的行为，以确定是否存在违约行为以及违约责任的承担方式。
- 同时，也需要关注相关法律法规的规定，以确保自己的行为符合法律要求，避免不必要的法律风险。
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