公司解雇员工的赔偿问题确实是一个相对复杂且需要细致考虑的情况，它主要取决于解雇的合法性以及员工是否存在过错。以下是我为您详细梳理的赔偿情况：
一、合法解除且无需支付赔偿的情况
试用期不符合录用条件：
- 如果公司在试用期内能够证明员工不符合事先明确的录用条件，并且这些条件已经在招聘文件或劳动合同中清晰表述，那么公司可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
严重违反公司规章制度：
- 公司的规章制度必须合法制定、经过公示，并且员工已经知晓。如果员工多次无故旷工，严重违反考勤制度，公司可以据此解除劳动合同，同样无需支付经济补偿。
严重失职、营私舞弊：
- 公司需要能够举证员工的失职行为以及这些行为给公司造成的重大损失。例如，财务人员因疏忽导致资金损失，并且公司有审计报告等证据支持，那么公司可以解除劳动合同，无需支付经济补偿。
兼职影响本职工作：
- 如果员工同时与其他用人单位建立劳动关系，并且这种兼职行为严重影响本职工作，或者经公司提出后员工拒不改正，公司可以提供相应证据解除劳动合同，无需支付经济补偿。
二、合法解除但需支付经济补偿的情况
协商一致解除：
- 如果用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同，那么用人单位需要按照劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿。具体标准为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
无过失性辞退：
- 在员工患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作、不能胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任、客观情况发生重大变化致使劳动合同无法履行且未能就变更合同达成协议等情形下，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后解除劳动合同。在此情况下，用人单位同样需要按照上述标准向劳动者支付经济补偿。
三、违法解除需支付赔偿金的情况
- 如果用人单位无正当理由随意解除劳动合同，那么就属于违法解除。此时，用人单位需要按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。也就是说，如果劳动者应得的经济补偿为N个月工资，那么违法解除时，用人单位需要支付2N个月工资的赔偿金。
四、特殊情况的赔偿
未签合同的情况：
- 如果公司未与员工签订书面劳动合同，并且自用工之日起超过一个月不满一年，那么公司需要向员工每月支付二倍的工资（从用工第二个月起至满一年前一日，最多支付11个月）。如果此时公司无合法理由解雇员工，还需要支付违法解雇的赔偿金。
工资高于当地平均工资三倍的情况：
- 对于月工资高于当地职工月平均工资三倍的员工，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，并且支付年限最高不超过十二年。
五、解雇程序与后续义务
- 公司在解雇员工时，必须遵循法定程序，如通知工会、提供合法合理的解雇依据、履行书面通知义务等。同时，公司还需要及时办理离职手续，包括出具离职证明、办理档案和社保转移等。这些程序的遵守对于确保解雇的合法性至关重要。
总结与建议：
公司在解雇员工时，应仔细审查解雇的合法性和员工是否存在过错，以确保遵守相关法律法规并避免不必要的赔偿风险。员工在面临解雇时，也应了解自己的权益和赔偿标准，并保留好相关证据以便维权。如有需要，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。希望这些信息能够对您有所帮助。