结论：上班工作中割断了小指的筋，是有可能进行工伤评残的，但具体能否评残以及评残等级，需要根据受伤后的恢复情况、功能障碍程度以及劳动能力受影响程度等多方面因素，由专业的劳动能力鉴定委员会进行综合判定。

详细分析：

1. 工伤评级标准：

   • 十级伤残：如果手指筋断后经过治疗，功能基本恢复正常，对日常生活和工作影响较小，可能不被评定为伤残等级。但若存在轻微的功能障碍，如手指末节肌腱断裂导致轻微活动受限，通常可能被评定为十级伤残。
   • 九级伤残：若手指中节或近节筋断，且治疗后手指的屈伸功能等受到一定程度影响，如屈伸范围减少、力量减弱，可能会被评定为九级伤残。
   • 更高等级伤残：在更为严重的情况下，如多个手指筋断或筋断部位关键，导致手指功能严重受损，严重影响日常生活和工作，可能会被评为八级甚至更高等级的伤残。

2. 鉴定流程：

   • 申请时机：职工发生工伤后，应在治疗伤情相对稳定后，且存在残疾、影响劳动能力的情况下，进行劳动能力鉴定。
   • 申请地点：鉴定申请需向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出。
   • 鉴定过程：劳动能力鉴定委员会会从医疗卫生专家库中随机抽取相关专家组成专家组，由专家组提出鉴定意见，并最终作出劳动能力鉴定结论。鉴定过程中，将审阅鉴定资料，综合分析和作出鉴定结论。
   • 鉴定结果：鉴定完成后，将出具鉴定书，内容包括被鉴定人的基本情况、伤残等级、鉴定时间等，并由所有参加鉴定的成员共同签署，加盖鉴定委员会公章。

3. 工伤待遇：

   • 根据《工伤保险条例》的规定，职工因工致残被鉴定为不同伤残等级的，可享受相应的工伤待遇。例如，被鉴定为十级伤残的职工，可以从工伤保险基金获得一次性伤残补助金，标准为7个月的本人工资。若伤残等级更高，则补助金等工伤待遇也会相应增加。

建议：

• 对于您的情况，我建议您首先确保及时就医并保存好所有医疗记录，这些记录将作为后续工伤认定和劳动能力鉴定的重要依据。
• 在伤情相对稳定后，尽快向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请，以便明确伤残等级。
• 在整个过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，提供更为详细和专业的法律建议。