结论：在骗子使用客户邮箱发来诈骗信息并导致付款的情况下，责任的承担需根据具体情况来分析，可能涉及客户、邮箱服务提供商以及付款方（如银行或支付平台）等多方责任。以下是对此问题的详细分析：
一、客户责任
邮箱安全：
- 如果客户未能妥善保管其邮箱账号和密码，导致邮箱被骗子盗用，那么客户在一定程度上可能需要承担责任。这是因为客户有义务保护自己的账户安全，防止未经授权的访问和使用。
- 建议：客户应定期更换密码，使用复杂且不易猜测的密码，并启用双重验证等安全措施来增强邮箱账户的安全性。
及时报告：
- 如果客户发现邮箱被盗用或收到可疑的诈骗信息，应立即向邮箱服务提供商报告，并尝试采取措施阻止诈骗行为的进一步发生。
- 建议：客户应保留相关证据，如诈骗信息的截图、发送时间等，以便在需要时向相关部门或机构提供证明。
二、邮箱服务提供商责任
安全保障：
- 邮箱服务提供商有义务提供安全可靠的邮箱服务，包括保护用户账户免受未经授权的访问和使用。
- 分析：如果邮箱服务提供商的安全措施存在漏洞或不足，导致客户邮箱被盗用，那么邮箱服务提供商可能需要承担一定的责任。
及时响应：
- 当客户报告邮箱被盗用或收到诈骗信息时，邮箱服务提供商应及时响应并采取措施，如冻结账户、阻止诈骗信息的进一步传播等。
- 建议：客户在选择邮箱服务提供商时，应了解其安全保障措施和应急响应机制，选择信誉良好、服务可靠的服务商。
三、付款方责任（如银行或支付平台）
交易验证：
- 付款方在处理交易时，有义务进行充分的验证和确认，确保交易是合法且由账户持有人发起的。
- 分析：如果付款方未能履行其验证义务，导致诈骗交易得以完成，那么付款方可能需要承担一定的责任。然而，在大多数情况下，付款方会依据其内部的反欺诈机制和风险控制措施来评估交易风险，并可能拒绝可疑交易。
客户保护：
- 付款方应提供客户保护机制，如交易争议解决、退款等，以帮助客户在遭受诈骗时挽回损失。
- 建议：客户在使用银行或支付平台进行交易时，应了解其客户保护政策和流程，以便在需要时及时寻求帮助。
四、法律责任与救济途径
法律责任：
- 在骗子使用客户邮箱发来诈骗信息并导致付款的情况下，具体法律责任需根据相关法律法规和案件事实来判断。可能涉及的法律包括《刑法》（如诈骗罪）、《网络安全法》（如网络服务提供者的安全保障义务）等。
救济途径：
- 如果客户遭受了诈骗损失，可以向公安机关报案，寻求刑事追责；同时，也可以向邮箱服务提供商或付款方提出索赔要求，要求其承担相应的民事责任。
- 建议：客户在寻求救济时，应保留好相关证据，如交易记录、诈骗信息截图等，以便在需要时提供证明。
总结与建议：在骗子使用客户邮箱发来诈骗信息并导致付款的情况下，责任的承担需根据具体情况来分析。客户应加强邮箱账户的安全保护，及时报告可疑情况；邮箱服务提供商应提供安全可靠的服务和及时的应急响应；付款方应履行充分的交易验证义务并提供客户保护机制。如果客户遭受了诈骗损失，应及时向公安机关报案并向相关方提出索赔要求。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。