结论前置：在员工生病期间，公司一般不能随意开除员工，但存在特定情形下可以解除劳动合同，并需依法支付经济补偿或遵循相应程序。下面我将从不同角度为你详细分析：
一、医疗期内员工受保护，公司不得随意解除劳动合同
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，当劳动者患病或者非因工负伤，且在规定的医疗期内时，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。这里的“医疗期”是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，且在此期间内不得被解除劳动合同的时限。医疗期的具体长度根据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，范围从3个月到24个月不等。
举例说明：假设员工小李实际工作年限为8年，在本单位工作年限为4年，那么他的医疗期为3个月。在这3个月内，即使小李无法工作，公司也不得随意解除他的劳动合同。
若公司违反规定，在员工医疗期内擅自解除劳动合同，员工有权要求公司继续履行劳动合同。若员工不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，公司则需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。赔偿金的计算方式是根据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准进行支付，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的则支付半个月工资的经济补偿。
二、医疗期满后，特定情况下公司可以解除劳动合同
尽管一般情况下医疗期内不得解除劳动合同，但也存在例外情况：
医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作：根据《劳动合同法》第四十条的规定，若劳动者在医疗期满后仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。但在此种情况下，公司仍需向劳动者支付经济补偿。
经济补偿的计算：经济补偿的计算依据是劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
三、员工存在严重过错时，公司有权解除劳动合同
如果员工在生病期间存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条所规定的过错情形，即使处于医疗期内，公司也有权解除劳动合同，并且无需支付经济补偿。
举例说明：假设员工小张在生病期间，利用职务之便将公司的财物私自出售并占为己有，给公司造成了重大损失。那么，即使小张处于医疗期内，公司也有权解除他的劳动合同，并且无需支付经济补偿。
四、员工维权途径
如果公司违反规定，在员工生病期间随意解除劳动合同，员工可以通过以下途径维护自己的合法权益：
与公司协商：员工可以首先尝试与公司协商，要求恢复劳动关系或支付相应的赔偿金。
提起仲裁申请：若协商不成，员工可以向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请，以维护自身合法权益。
提起诉讼：对仲裁裁决不服的，员工还可以向人民法院提起诉讼，进一步寻求法律救济。
综上所述，公司在面对员工生病期间的问题时，应谨慎处理，遵循法律法规，确保合法合规地管理员工关系。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。