结论：车子按揭没还完且无绿本（即机动车登记证书）的情况下，一般不能直接将车辆公证给别人。以下从多个角度进行详细分析：
一、公证的本质与要求
公证是公证机构根据自然人、法人或者其他组织的申请，依照法定程序对民事法律行为、有法律意义的事实和文书的真实性、合法性予以证明的活动。在车辆过户或转让的情境中，公证通常用于确认交易双方的身份、交易意愿以及交易内容的真实性。然而，公证并不直接改变车辆的所有权或抵押状态，它更多是一种证明行为，而非确权行为。
二、车辆按揭与抵押状态
按揭贷款与抵押：当车辆处于按揭贷款状态时，车辆通常已经作为抵押物抵押给了贷款机构（如银行或汽车金融公司）。这意味着，在贷款未还清之前，车辆的所有权实际上受到一定限制，贷款机构对车辆享有优先受偿权。
绿本的重要性：机动车登记证书（绿本）是车辆所有权的法律证明文件。在车辆按揭期间，绿本通常由贷款机构保管，作为抵押物的凭证。没有绿本，意味着无法直接证明车辆的所有权状态，也增加了交易的风险和不确定性。
三、公证的局限性
无法改变抵押状态：即使双方就车辆的转让达成一致并进行了公证，由于车辆仍处于抵押状态，这种转让在法律上可能是无效的或受到限制的。贷款机构有权拒绝承认这种转让，并继续对车辆享有优先受偿权。
无法办理过户手续：根据《机动车登记规定》，车辆过户需要提交机动车登记证书等相关文件。没有绿本，车辆管理部门将无法办理过户手续，这意味着车辆的所有权无法真正转移给受让人。
四、建议与解决方案
还清按揭贷款：最直接且有效的解决方案是还清车辆的按揭贷款，从而解除抵押状态并取回绿本。这样，车辆就可以自由地进行过户或转让了。
与贷款机构协商：如果无法立即还清贷款，可以尝试与贷款机构协商，看是否可以提前解除抵押或办理部分过户手续（如先过户给贷款机构指定的第三方，待贷款还清后再过户给最终受让人）。但这种情况较为复杂，且不一定能得到贷款机构的同意。
谨慎对待公证：在车辆按揭未还清且无绿本的情况下，即使进行了公证，也可能无法达到预期的法律效果。因此，建议谨慎对待此类公证行为，避免不必要的法律风险和纠纷。
总结：车子按揭没还完且无绿本的情况下，一般不能直接将车辆公证给别人。为了保障交易的合法性和有效性，建议先还清按揭贷款并取回绿本后再进行车辆过户或转让。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。