结论：和第三方管理人签订的合同欠款不给，是否可以起诉管理人，这主要取决于管理人在合同中的法律地位以及欠款的具体情况。以下从不同角度进行分析：
管理人作为合同一方：
- 如果第三方管理人直接作为合同的一方与您签订了合同，并且合同中明确约定了管理人的付款义务，那么当管理人未按照合同约定支付欠款时，您完全有权依据合同条款起诉管理人，要求其履行付款义务。
管理人作为代理人或中间人：
- 如果管理人并非合同的一方，而是作为代理人或中间人参与合同签订，且合同中明确约定了实际的付款方并非管理人，那么在这种情况下，起诉管理人可能并不合适。因为管理人并未直接承担付款义务，您应当起诉实际的欠款方。
- 但是，如果管理人在代理或中间过程中存在过错或故意隐瞒重要信息，导致您遭受损失，您可能可以依据相关法律规定，起诉管理人要求其承担相应的赔偿责任。
合同条款的明确性：
- 无论管理人作为合同一方还是代理人，合同条款的明确性都是关键。如果合同中对于付款义务、违约责任等条款约定不明确或存在歧义，这可能会给起诉带来困难。因此，在签订合同时，务必确保合同条款清晰、明确，以避免后续纠纷。
证据的收集与保存：
- 在起诉前，您需要收集并保存好与合同相关的所有证据，包括合同文本、付款记录、沟通记录等。这些证据将有助于证明您的主张，并增加胜诉的可能性。
法律建议：
- 在决定是否起诉前，建议您先仔细审查合同条款，明确管理人在合同中的法律地位以及付款义务的具体约定。
- 如果合同条款不明确或存在争议，您可以考虑咨询专业律师，以获取更具体的法律建议。
- 在起诉前，务必收集并保存好所有相关证据，以确保您的主张能够得到充分支持。
可能法律后果：
- 如果您成功起诉管理人并胜诉，管理人将被判决履行付款义务或承担相应的赔偿责任。
- 如果管理人拒不履行判决，您还可以申请法院强制执行，以维护自己的合法权益。
总之，和第三方管理人签订的合同欠款不给是否可以起诉管理人，需要根据具体情况进行判断。如果您对此有疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。