家庭监护指导的负责部门并非单一，而是由多个部门协同合作，共同推进家庭监护指导工作的开展。以下是对相关负责部门的详细归纳和解释：

1. 县级以上人民政府负责妇女儿童工作的机构：

   • 这些机构在家庭监护指导中扮演组织、协调、指导、督促的角色。它们会联合其他相关部门，共同制定和执行家庭监护指导的政策和计划，确保家庭监护工作的有效进行。

2. 教育行政部门和妇女联合会：

   • 教育行政部门和妇女联合会在家庭监护指导中起着统筹协调社会资源的作用。它们会协同推进覆盖城乡的家庭教育指导服务体系建设，为家庭提供科学、系统的监护指导服务。

3. 县级以上民政部门：

   • 在特定情境下，如困境未成年人身份认定、收养工作，或办理未成年人违法犯罪案件等，民政部门会根据需要开展家庭监护能力评估，并提供相应的监护指导和救助保护服务。例如，在湖南省出台的《湖南省未成年人家庭监护能力评估办法》中，就明确规定了民政部门在家庭监护能力评估中的职责和流程。

4. 居民委员会、村民委员会：

   • 这些基层组织可以设立社区家长学校等家庭教育指导服务站点，为家庭提供便捷的监护指导服务。它们通过组织各种活动，增强家长对家庭监护的认识和能力。

5. 医疗保健机构：

   • 医疗保健机构在提供医疗服务的同时，也会对有关成年人、未成年人的监护人开展科学养育知识和婴幼儿早期发展的宣传和指导，帮助家长更好地履行监护职责。

6. 人民法院：

   • 在审理涉及未成年人的案件时，如离婚案件，人民法院会对有未成年子女的夫妻双方提供家庭教育指导，确保未成年人的合法权益得到保障。

7. 公检法机关：

   • 在发现未成年人存在严重不良行为、实施犯罪行为，或者未成年人的监护人不正确实施家庭教育侵害未成年人合法权益时，公检法机关会根据情况对监护人予以训诫，并可以责令其接受家庭教育指导。

综上所述，家庭监护指导是一个涉及多个部门的综合性工作。各部门在各自的职责范围内，共同为家庭提供科学、系统的监护指导服务，确保未成年人的健康成长和合法权益得到保障。