针对物业不给业主通水通电且当地相关部门不予解决的情况，业主可采取以下法律途径维护自身权益：

1. 明确法律关系与责任主体
   根据《民法典》第九百四十四条，物业服务人不得采取停止供电、供水、供热、供燃气等方式催交物业费。若物业以此为由断水断电，已涉嫌违法，业主有权要求其立即恢复供应并赔偿损失。
   若相关部门（如住建局、房管局等）未履行监管职责，业主可依据《行政诉讼法》对其提起行政不作为之诉，要求其依法履职。

2. 分步骤维权策略

   • 第一步：固定证据
     收集断水断电的直接证据（如照片、视频、物业通知等）、与物业沟通的记录（录音、聊天记录）、向相关部门投诉的回执或书面材料，证明物业违法行为及行政机关未处理的事实。
     
   • 第二步：向物业主张权利
     书面致函物业（可委托律师发送律师函），明确要求其恢复供应并赔偿损失。若物业拒不履行，可向法院提起民事诉讼，主张侵权责任（如《民法典》第1165条）或违约责任（若物业合同中有相关约定）。
     
   • 第三步：投诉与行政复议/诉讼
     向当地住建部门、街道办等投诉物业违法行为，要求其责令物业整改。若相关部门未在法定期限内处理（通常为60日），可向其上级机关申请行政复议，或直接提起行政诉讼，要求确认其不作为违法并责令履职。
     
   • 第四步：申请先予执行或临时措施
     在民事诉讼中，若断水断电严重影响生活，可依据《民事诉讼法》第109条申请“先予执行”，要求法院裁定物业立即恢复供应。在行政诉讼中，可申请“停止执行”或“行为保全”，阻止物业继续违法行为。

3. 特殊情形处理

   • 若断水断电因欠费引发：需区分欠费主体。若业主未欠费，物业无权断供；若业主欠费，物业应通过合法途径催缴（如诉讼），而非断供。若业主对欠费有异议（如收费标准不合法），可要求物业提供收费依据，或向物价部门投诉。
     
   • 若涉及第三方（如供电/水公司）：若物业以“代收代缴”为由断供，需核实物业与第三方公司的合同。若第三方公司直接断供，业主可同时起诉物业和第三方公司，要求承担连带责任。

4. 风险提示与建议

   • 避免自行恢复供应（如私接水电），可能涉嫌违法或引发安全事故。
     
   • 维权过程中注意保留所有书面材料，避免口头沟通无记录。
     
   • 若涉及群体性纠纷（如整个小区断供），可联合其他业主共同维权，降低诉讼成本。
     

行动建议：立即委托律师介入，同步启动民事诉讼与行政投诉程序，以最快速度恢复基本生活需求，同时追究物业与相关部门的法律责任。如有进一步证据或细节需要分析，可直接向我提供材料，我将协助制定具体方案。