结论：员工生病不请假，用人单位不能直接辞退员工，否则可能构成违法解除劳动合同。但若员工的行为符合严重违反用人单位规章制度的情形，用人单位在履行相应程序后，可以依法解除劳动合同。以下是对此问题的详细分析：
一、员工生病期间的法律保护
根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，员工在患病或非因工负伤时，享有法定的医疗期。医疗期内，用人单位不得依据《劳动合同法》第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。这意味着，即使员工生病未请假，只要其处于医疗期内，用人单位也不能随意辞退。
二、合法辞退的例外情形
尽管员工在医疗期内受到法律保护，但若其行为符合以下情形，用人单位仍可依法解除劳动合同：
严重违反规章制度：若员工存在严重违反用人单位规章制度的行为，如旷工、打架斗殴等，且该规章制度已向员工公示或告知，用人单位可以解除劳动合同。但需注意，在员工生病期间，此类情形较为罕见，且用人单位需承担举证责任，证明员工的行为确实构成严重违反规章制度。
试用期不符合录用条件：若员工在试用期内被证明不符合录用条件，且该条件已在劳动合同中明确约定，用人单位可以依法解除劳动合同。但此情形与员工生病无直接关联，且需严格符合法律规定的条件和程序。
刑事犯罪：若员工被依法追究刑事责任，用人单位可以解除劳动合同。但这同样与员工生病无直接关联，且需以法院判决为准。
三、违法辞退的法律后果
若用人单位违法解除劳动合同，需承担以下法律后果：
经济赔偿：用人单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
恢复劳动关系：在某些情况下，劳动者有权要求继续履行劳动合同，恢复劳动关系。
四、建议与注意事项
协商处理：对于生病的员工，用人单位应优先考虑通过协商的方式解决问题，如调整工作岗位、提供必要的帮助和支持等。
保留证据：在处理相关事宜时，用人单位应妥善保留相关证据，如医疗证明、规章制度公示记录、考勤记录等，以备不时之需。
履行程序：若用人单位决定解除劳动合同，需确保履行相应的程序，如提前通知工会或员工本人、听取工会或职工的意见等。
及时咨询：如有疑问或争议，建议及时向我咨询，以确保合法权益得到保障。
总结：员工生病不请假，用人单位不能直接辞退员工。但若员工的行为符合严重违反用人单位规章制度的情形，用人单位在履行相应程序后，可以依法解除劳动合同。在处理此类问题时，用人单位应谨慎行事，确保合法合规，并妥善保留相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。