结论：在孩子被打且已经赔偿完毕的情况下，一般不可以退回赔偿金并重新报案，但存在特殊情形可能允许重新处理。以下从不同角度为你详细分析：

一般情况：不可退回赔偿金并重新报案

从法律程序和基本原则的角度来看，一旦双方就赔偿事宜达成一致并完成赔偿，通常意味着纠纷已经得到解决。赔偿行为本身可以视为侵权方对自己侵权行为所造成后果的一种承担方式，也是双方对侵权纠纷处理的一种合意结果。在这种情况下，法律鼓励当事人通过协商解决纠纷，一旦协商结果达成并履行，就具有相对的稳定性和确定性。

例如，甲打了乙的孩子，双方经过协商，甲同意赔偿乙一定金额的医疗费、营养费等费用，并且已经实际支付。此时，从法律层面和社会秩序的角度，都认为这个纠纷已经了结，乙不能再随意反悔要求退回赔偿金并重新报案。

特殊情况：可能允许重新处理

1. 存在欺诈、胁迫等情形：如果在赔偿协商过程中，侵权方存在欺诈、胁迫等行为，导致受害方在违背真实意愿的情况下接受了赔偿。比如，侵权方威胁受害方如果不接受当前的赔偿方案，就会采取更恶劣的手段报复，受害方出于恐惧而同意赔偿。在这种情况下，受害方可以在知道或者应当知道撤销事由之日起一定期限内（一般为一年），向法院或者仲裁机构申请撤销该赔偿协议。撤销后，双方的权利义务关系恢复到赔偿前的状态，受害方可以重新报案，要求依法处理侵权行为。
2. 赔偿金额显失公平：如果赔偿金额与实际损失相差悬殊，明显不公平。例如，孩子被打后实际产生的医疗费、护理费、营养费等各项损失共计数万元，但侵权方只赔偿了几千元，且受害方当时由于缺乏经验或者处于紧急情况下而接受了该赔偿。在这种情况下，受害方也可以在一定期限内（一般为一年）向法院或者仲裁机构申请变更或者撤销赔偿协议，之后重新报案处理。
3. 发现新的损害后果：在赔偿完毕后，如果发现孩子因被打行为产生了新的损害后果，而这些后果在之前的赔偿协商中并未考虑进去。比如，当时只考虑了孩子表面的伤势治疗费用，但后来发现孩子因被打导致了心理创伤，需要进行长期的心理治疗，产生了额外的费用。此时，受害方可以就新的损害后果与侵权方重新协商赔偿事宜，如果协商不成，也可以重新报案，通过法律途径解决。

法律建议：如果你认为存在上述特殊情况，想要退回赔偿金并重新报案，建议你及时收集相关证据，如协商过程中的录音、聊天记录、医疗诊断证明等，以证明存在欺诈、胁迫、显失公平或者新的损害后果等情况。然后，你可以先与侵权方进行沟通协商，看是否能够达成新的赔偿协议。如果协商不成，你可以向公安机关报案，同时也可以考虑向法院提起民事诉讼，要求侵权方承担相应的赔偿责任。

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