结论：被下了不起诉决定书后，能否开具无犯罪记录证明，需根据不起诉的具体类型及当地公安机关或司法机关的实际操作标准来确定。一般情况下，法定不起诉和证据不足不起诉通常可以开具无犯罪记录证明，而酌定不起诉则可能因地区差异而有所不同。

详细分析：

1. 不起诉决定的类型及影响：

   • 法定不起诉：根据《刑事诉讼法》第十六条，当犯罪嫌疑人的行为情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪，或存在其他法定不追究刑事责任的情形时，人民检察院应当作出不起诉决定。在此情况下，由于犯罪嫌疑人的行为本身不被认定为犯罪，因此可以开具无犯罪记录证明。
   • 酌定不起诉：依据《刑事诉讼法》第一百七十七条第二款，对于犯罪情节轻微且不需要判处刑罚或免除刑罚的，人民检察院可以作出不起诉决定。尽管犯罪嫌疑人的行为构成了犯罪，但由于情节轻微等原因未受刑罚，根据无罪推定原则，部分地区可能认为可以开具无犯罪记录证明，但也存在地区差异，部分地方可能结合具体情况予以开具或不予开具。
   • 证据不足不起诉（存疑不起诉）：根据《刑事诉讼法》第一百七十五条第四款，对于二次补充侦查后证据仍然不足的案件，人民检察院应当作出不起诉决定。因证据不足而无法认定犯罪嫌疑人有罪，故在法律上应视为无罪，可以开具无犯罪记录证明。

2. 无犯罪记录证明与无违法犯罪记录证明的区别：

   • 无犯罪记录证明：仅证实当事人没有被判刑，没有犯罪记录。
   • 无违法犯罪记录证明：不仅要求无犯罪记录，还要求无违法行为记录（如治安拘留等）。因此，即使能够开具无犯罪记录证明，也不意味着能够开具无违法犯罪记录证明，这取决于当事人是否存在其他违法行为。

3. 开具无犯罪记录证明的流程：

   • 前往户口所在地的居委会开证明，盖章、签字。
   • 报片民警签字盖章（派出所工作人员可协助）。
   • 到派出所最后签字、盖章。
   • 或直接带个人身份证、户口本到户籍所在地的派出所开具。

4. 注意事项：

   • 不起诉决定的性质：不起诉决定是人民检察院的终止诉讼决定，并非对行为的合法性评判。因此，即使获得不起诉决定，也不意味着行为完全合法或无过错。
   • 使用场合：无犯罪记录证明通常用于入学、参军、出国、就业等需要证明个人品行和背景的场合。在使用时，应明确其适用范围和目的。
   • 特殊情况：如未成年人犯罪记录封存制度，符合条件时其犯罪记录会被封存，不影响开具无犯罪记录证明。

综合建议：

• 如果您获得了不起诉决定书，并希望开具无犯罪记录证明，建议首先了解当地公安机关或司法机关的具体规定和操作流程。
• 根据不起诉的具体类型（法定不起诉、酌定不起诉或证据不足不起诉），准备相应的证明材料和申请文件。
• 在申请过程中，如遇到任何问题或困难，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。