在民事诉讼中一审已判决后发现原告提供虚假事实，被告不应直接提起新的诉讼，而应通过申请再审程序来纠正错误判决，并可依法追究原告虚假诉讼的法律责任。具体分析如下：
一、申请再审程序纠正错误判决
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零八条，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。若法院发现原判决确有错误（包括因虚假诉讼导致的错误），应当通过审判监督程序予以纠正。
操作方式：
- 被告可以向作出生效判决的法院院长提交审判委员会讨论决定再审，或直接向上级法院申请再审。
- 再审期间，原判决的执行可能会被中止，待查明事实后，法院会撤销原判并依法改判。
二、追究虚假诉讼法律责任
刑事责任：
- 罪名适用：依据《中华人民共和国刑法》第三百零七条之一，以捏造的事实提起民事诉讼妨害司法秩序或严重侵害他人权益的，构成虚假诉讼罪。
- 量刑标准：处三年以下有期徒刑、拘役或管制，并处或单处罚金；情节严重者处三年以上七年以下有期徒刑并处罚金。单位犯罪需承担双罚责任。
民事责任：
- 法院应驳回原告诉讼请求，并根据情节轻重处以罚款、拘留。
- 若虚假诉讼导致被告损失，被告有权要求原告承担赔偿责任。
行政责任：
- 若律师、诉讼代理人参与虚假诉讼，司法机关可向行业协会发送司法建议，由行业主管部门给予行政处罚或纪律处分。
三、实际操作建议
收集证据：
- 被告应尽快收集能够证明原告提供虚假事实的证据，如书证、物证、证人证言等。
提交再审申请：
- 被告应撰写再审申请书，明确指出原判决中的错误及虚假诉讼的事实，并附上相关证据材料，向法院提交再审申请。
配合法院调查：
- 在再审过程中，被告应积极配合法院的调查工作，提供必要的协助和证据。
考虑追究法律责任：
- 在再审程序启动后，被告还可以考虑向公安机关报案，要求追究原告虚假诉讼的刑事责任。同时，也可以向法院提起民事诉讼，要求原告赔偿因虚假诉讼造成的损失。
四、注意事项
- 时效性：被告应在发现原告提供虚假事实后尽快采取行动，以免错过申请再审的时效期限。
- 证据充分性：被告在申请再审和追究法律责任时，应确保所提供的证据充分、确凿，以支持其主张。
- 法律程序合规性：被告在采取行动时，应严格遵守法律程序，确保每一步都合法合规。
总结来说，被告在发现原告提供虚假事实后，应通过申请再审程序来纠正错误判决，并可依法追究原告虚假诉讼的法律责任。在整个过程中，被告应积极收集证据、配合法院调查，并确保所有行动都符合法律程序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。