针对你提出的问题，“已生效判决民事案件被告人向检察机关提出原告涉嫌虚假诉讼，检察机关该受理吗？”我的回答是：检察机关应该受理。以下是详细的解释：

1. 检察机关的监督职能：

   • 检察机关作为法律监督机关，有权对民事诉讼活动进行监督，以确保诉讼的公正性和合法性。
   • 虚假诉讼是违反诉讼诚实信用原则的行为，严重损害司法公信力和他人合法权益，属于检察机关的监督范畴。

2. 虚假诉讼的受理依据：

   • 检察院具备对涉嫌虚假诉讼的案件进行立案侦查的权力。
   • 一旦发现存在虚假诉讼行为，检察院可以依法进行审查起诉等一系列程序，追究相关人员应负的法律责任。

3. 受理后的处理流程：

   • 检察机关在受理被告人的举报后，会进行初步审查，判断是否存在虚假诉讼的嫌疑。
   • 如果初步审查认为存在虚假诉讼行为，检察机关会进一步立案侦查，收集证据，并依法追究相关人员的法律责任。
   • 在侦查过程中，如果发现司法工作人员有参与虚假诉讼的行为，检察机关还会一并侦查其职务犯罪。

4. 当事人的配合义务：

   • 被告人向检察机关提出举报后，应当积极配合检察机关的调查工作，提供相关证据和线索。
   • 检察机关也会依法保护举报人的合法权益，确保举报人不会因举报行为而遭受不当侵害。

综上所述，已生效判决民事案件的被告人向检察机关提出原告涉嫌虚假诉讼的举报后，检察机关应该受理并进行相应的审查和处理。如果你在这方面有进一步的法律问题或需要更详细的帮助，请直接向我咨询。