结论：公司不可以随意辞退请假回家照顾重病父亲的员工，且若违法辞退，员工有权要求公司支付经济补偿。
法律分析：
员工请假权利：
- 根据《中华人民共和国劳动法》和《劳动合同法》的相关规定，员工在特定情况下（如直系亲属病重）享有请假权利。员工在履行请假手续后，其工作岗位应得到保留，公司不得因员工请假而随意辞退。
公司辞退行为的违法性：
- 如果公司在员工请假期间单方面解除劳动合同，且没有合法合理的理由，这违反了劳动法的相关规定。公司未充分考虑员工的实际困难，缺乏人文关怀，且可能构成对劳动合同的违约。
经济补偿的依据：
- 若公司违法辞退员工，根据《劳动合同法》的相关规定，员工有权要求公司支付经济补偿。经济补偿的计算通常基于员工在公司的工作年限、工资水平等因素。具体来说，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
可能的情况与建议：
员工已履行请假手续：
- 如果员工已经按照公司规定履行了请假手续，且请假理由合理（如直系亲属病重），那么公司无权辞退员工。若公司违法辞退，员工可以收集相关证据（如请假条、医院证明、劳动合同等），向劳动仲裁机构或法院提起诉讼，要求公司支付经济补偿。
员工未履行请假手续或请假理由不充分：
- 如果员工未按照公司规定履行请假手续，或者请假理由不充分（如非直系亲属病重且未提供充分证明），那么公司可能有权根据规章制度对员工进行处理。但即便如此，公司也应遵循合法、合理的原则，避免滥用职权或侵犯员工权益。在这种情况下，建议员工先与公司沟通，了解公司的具体要求和规定，并尽量补全请假手续或提供充分证明。
公司规章制度与劳动合同的约定：
- 员工在入职时，应仔细阅读公司的规章制度和劳动合同，了解其中关于请假、辞退等条款的约定。如果公司规章制度或劳动合同中有关于员工请假期间不得辞退的明确规定，那么公司必须遵守这些规定。若公司违反规定辞退员工，员工可以依据这些规定要求公司支付经济补偿。
后续行动建议：
- 如果您或您身边的人遇到了类似情况，建议首先与公司沟通，了解公司的具体要求和规定，并尽量通过协商解决问题。
- 如果协商无果，可以收集相关证据（如请假条、医院证明、劳动合同、公司规章制度等），向劳动仲裁机构或法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
- 在整个过程中，保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击，以免对解决问题造成不利影响。
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