结论：在没写合同的情况下，二手小车刚买开回家的路上坏了，责任归属需视具体情况而定，可能由卖方负责，也可能由买方自行承担，甚至双方可能都有一定责任。以下从不同角度进行分析：
一、卖方可能承担责任的情况
卖方故意隐瞒车辆瑕疵：
- 如果卖方在出售车辆时，明知车辆存在故障或隐患，却故意隐瞒不告知买方，导致买方在购买后短时间内车辆就出现故障，那么卖方应当承担相应的责任。
- 法律依据：根据《民法典》的相关规定，一方以欺诈手段，使对方在违背真实意思的情况下实施的民事法律行为，受欺诈方有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。在此情况下，买方可以要求卖方承担修理、更换、退货等责任，甚至可以要求赔偿损失。
卖方未履行告知义务：
- 即使卖方并非故意隐瞒车辆瑕疵，但如果其未履行告知义务，即未将车辆的真实状况告知买方，导致买方在不知情的情况下购买了存在故障的车辆，卖方也可能需要承担一定的责任。
- 实践建议：在这种情况下，买方可以尝试与卖方协商解决，如果协商不成，可以考虑通过法律途径维护自己的权益。
二、买方可能自行承担责任的情况
买方明知车辆状况仍购买：
- 如果买方在购买车辆时，已经明知车辆存在故障或隐患，但仍然选择购买，那么买方应当自行承担车辆故障的风险和责任。
- 法律依据：根据《民法典》的相关规定，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。但在此情况下，由于买方明知车辆状况仍选择购买，因此卖方不承担违约责任。
买方使用不当导致车辆故障：
- 如果车辆故障是由于买方在使用过程中操作不当或疏忽大意导致的，那么买方应当自行承担修理费用和其他相关损失。
- 实践建议：买方在使用车辆时，应当遵守操作规程，定期保养和维护车辆，以避免因使用不当导致车辆故障。
三、双方可能都有一定责任的情况
- 在某些情况下，车辆故障可能既与卖方未履行告知义务有关，也与买方使用不当有关。例如，卖方未告知买方车辆需要定期保养，而买方也未按照常规操作使用车辆，导致车辆出现故障。在这种情况下，双方可能都需要承担一定的责任。
- 实践建议：双方可以协商确定各自的责任比例，并据此分担修理费用和其他相关损失。如果协商不成，可以考虑通过法律途径解决争议。
四、特别提醒
- 合同的重要性：虽然在此情况下双方未签订书面合同，但口头合同同样具有法律效力。然而，为了避免类似纠纷的发生，建议在购买二手车时签订书面合同，明确双方的权利和义务。
- 证据收集：在发生纠纷时，证据的收集至关重要。买方应当保留好购车时的相关证据，如聊天记录、转账记录、车辆照片等，以便在需要时证明自己的权益。
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