店家需根据具体情况承担相应赔偿责任，具体如下：
若店家未尽到安全保障义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条的规定，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。如果店家未能提供安全的工作环境、必要的劳动保护措施，或者未对员工进行安全操作培训，导致员工在切菜过程中切到手指，店家应承担主要或全部赔偿责任。
- 赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费等因伤害产生的直接经济损失。如果伤害构成伤残，还需赔偿残疾赔偿金、被扶养人生活费等。
若员工自身存在过错：
- 如果员工在切菜过程中因疏忽大意、违反操作规程等自身原因导致受伤，员工自身也应承担一定责任。此时，店家的赔偿责任会相应减轻，具体比例需根据双方过错程度来确定。
- 例如，如果员工明知操作规程却故意违反，或者未按照店家提供的安全指导进行操作，导致受伤，那么员工可能需要承担较大比例的责任。
若店家已购买工伤保险：
- 如果店家为员工购买了工伤保险，那么员工在切菜过程中受伤后，可以先通过工伤保险基金来获得医疗救治和经济补偿。
- 工伤保险基金支付的范围包括医疗费用、康复费用、住院伙食补助费、交通食宿费、安装配置伤残辅助器具所需费用、生活护理费、一次性伤残补助金等。
- 在工伤保险基金支付后，如果仍有不足部分或者不属于工伤保险支付范围的费用，店家仍需根据上述第1、2点的情况承担相应赔偿责任。
行动建议：
- 及时救治：店家应立即将受伤员工送往医疗机构进行救治，并垫付相关医疗费用。
- 报告工伤：如果店家购买了工伤保险，应及时向社会保险行政部门报告工伤情况，并协助员工办理工伤认定和工伤保险待遇申请手续。
- 协商赔偿：在员工伤情稳定后，店家应与员工或其家属协商赔偿事宜，尽量达成和解协议。如果协商不成，可以通过法律途径解决争议。
- 完善安全措施：店家应加强工作场所的安全管理，完善劳动保护措施，定期对员工进行安全操作培训，以预防类似事故的再次发生。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。