结论前置：

1. 若公司维持或提高原劳动合同条件续签，员工不愿续签：公司无需支付经济补偿。
2. 若公司降低原劳动合同条件或单方面不续签：公司需支付经济补偿，具体标准依据员工工作年限和月工资计算。
3. 若员工因严重违反公司规章制度等原因被合法解除劳动合同：公司无需支付经济补偿。

详细分析：

一、无需支付经济补偿的情况

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果劳动合同期满时，公司维持或者提高了劳动合同约定的条件（如薪资、福利、工作职位等）并希望续订劳动合同，但员工不同意续订，那么公司无需向员工支付经济补偿。这种情况下，合同终止是员工主动选择的结果，公司没有过错，因此无需承担赔偿责任。

二、需要支付经济补偿的情况

1. 公司降低原劳动合同条件或单方面不续签：
   • 如果劳动合同期满时，公司降低了劳动合同约定的条件或者直接表示不续签劳动合同，那么公司需要向员工支付经济补偿金。
   • 经济补偿金的计算标准如下：按照员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。对于工作满六个月但不满一年的，按一年计算；而对于工作不满六个月的，则向员工支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”指的是员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
   • 特别需要注意的是，如果员工的月工资高于公司所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资的三倍，那么向其支付的经济补偿金的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，并且支付的年限最高不超过十二年。

计算公式：

• 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资
• 其中，工作年限满一年按一年计，六个月以上不满一年按一年计，不满六个月按半个月计。
• 月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，按三倍计算，且年限最高不超过十二年。

1. 实例分析：
   • 假设员工小李在某公司工作了3年10个月，月平均工资为8000元。劳动合同到期后，公司决定不再续签。根据规定，小李的工作年限按4年计算，因此公司应支付给小李的经济补偿为4 × 8000 = 32000元。

三、特殊情况

如果员工因严重违反公司规章制度等原因被合法解除劳动合同，即便合同到期公司不续签，公司也无需支付经济补偿金。但这种情况下，公司需要承担举证责任，证明其不续签且无需赔偿的合理性。例如，员工有偷窃、旷工、严重失职等行为，且这些行为符合公司规章制度中规定的解除合同条件。

法律建议：

1. 对于公司：

   • 在处理劳动合同到期不续签的问题时，公司应严格遵守相关法律法规，确保在处理此类问题时既维护自身权益，也保障员工的合法权益。
   • 如果公司决定不续签劳动合同，应提前与员工沟通，明确告知不续签的原因和依据，并按照法律规定支付经济补偿金（如需）。

2. 对于员工：

   • 员工应了解自己的权利，在劳动合同到期前与公司沟通续签事宜。
   • 如果公司降低原劳动合同条件或单方面不续签，员工有权要求公司支付经济补偿金，并可以通过法律途径维护自己的权益。

综上所述，员工第一次签的劳动合同到期了，公司不想续签时是否需要赔偿员工，关键在于合同终止的具体原因和条件。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。