公安机关罚款依据与事实没有半点联系，是不合法的。具体分析如下：

1. 法律依据与事实关联性的要求
   根据《中华人民共和国行政处罚法》第四十条，行政机关必须查明事实，违法事实不清、证据不足的，不得给予行政处罚。这意味着，公安机关作出罚款决定时，必须以查证属实的违法事实为基础，且该事实需与处罚依据的法律规定相匹配。若罚款依据与事实无关联，即构成“事实认定错误”或“法律适用错误”，直接违反法定程序。

2. 合法性审查的核心标准
   行政处罚的合法性需满足“事实清楚、证据充分、适用法律正确、程序合法”四项要件。若公安机关的罚款依据与事实无关联，可能同时违反以下两点：

   • 事实认定错误：如将A行为误认为B行为，或虚构事实作为处罚依据；
     
   • 法律适用错误：如对某一事实错误适用法律条款，或未引用具体法律条文。
     此类情形下，处罚决定因缺乏事实与法律依据的双重支撑，属于违法行政行为。

3. 相对人的救济途径
   若遭遇此类情况，相对人可通过以下方式维护权益：

   • 行政复议：向上一级公安机关或同级人民政府申请复议，要求撤销或变更处罚决定；
     
   • 行政诉讼：直接向法院提起诉讼，请求判决确认处罚违法并撤销。
     法院或复议机关在审查时，会重点核查事实认定与法律适用的关联性，若确认无关联，将依法撤销处罚。

总结：公安机关罚款必须以事实为依据、以法律为准绳，若依据与事实无关联，则处罚行为违法。相对人可通过行政复议或诉讼途径寻求救济，实践中此类案件若证据充分，胜诉概率较高。如有具体案件细节，可进一步向我咨询。