不执行履行债务通知书，可能会面临以下法律后果：

1. 债权人申请强制执行
   若债务人未在履行债务通知书规定的期限内履行义务，债权人可向法院申请强制执行。法院将依法查封、扣押、冻结债务人名下的财产（如银行存款、房产、车辆等），并通过拍卖、变卖等方式变现以清偿债务。若债务人拒不配合执行（如隐藏财产、转移资产），还可能面临司法拘留或罚款。

2. 被纳入失信被执行人名单
   根据《最高人民法院关于公布失信被执行人名单信息的若干规定》，若债务人存在有能力履行而拒不履行、以虚假诉讼规避执行等情形，法院会将其纳入失信被执行人名单。这会导致债务人被限制高消费（如禁止乘坐飞机、高铁，限制子女就读高收费私立学校等），并在征信系统中留下不良记录，影响其贷款、就业等。

3. 承担刑事责任（极端情况）
   若债务人通过隐藏、转移财产等方式恶意逃避执行，且情节严重（如价值达到一定数额），可能构成《刑法》第三百一十三条规定的“拒不执行判决、裁定罪”，面临三年以下有期徒刑、拘役或罚金；若存在暴力抗拒执行等情节，刑罚可能更重。

建议：
若您收到履行债务通知书，应优先与债权人协商还款计划（如分期履行、延期履行），或通过法院调解程序达成和解。若确实无力偿还，可主动向法院说明情况，申请中止执行或参与个人债务清理程序（如个人破产试点地区），避免因消极应对导致更严重的法律后果。

如有具体案件细节或执行程序疑问，可直接向我咨询，我会结合您的实际情况进一步分析。