老师推搡孩子的行为是不合法的，这种行为通常被视为体罚的一种形式。

首先，我们需要明确体罚的定义。尽管我国现行的法律和政策文件并未对体罚做出直接、明确的界定，但教育部颁布的《中小学教育惩戒规则（试行）》中明确指出，教师在教育教学管理过程中，不得通过击打、刺扎等方式直接造成学生身体痛苦的体罚。推搡、拖拽等会直接造成身体痛苦的行为，同样被视为体罚的范畴。

接下来，我们分析体罚的违法性。体罚不仅违反了教育部门的相关规定，更可能触犯法律。根据《中华人民共和国教师法》和《中小学教师违反职业道德行为处理办法》的规定，教师体罚学生应当受到处分或其他处理，这包括警告、记过、降低岗位等级、撤职、开除等。如果体罚行为导致学生身体受伤，教师还可能面临民事赔偿责任，需要赔偿学生的医疗费、护理费等各项损失。

此外，如果体罚行为情节恶劣或造成严重后果，教师还可能承担刑事责任。例如，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，体罚学生有可能构成虐待被看护人罪或故意伤害罪，这将导致更严厉的法律制裁。

从实际案例来看，教师推搡、击打学生的行为已经多次被曝光并受到严肃处理。这些案例不仅给涉事教师带来了严重的职业后果，也给学生和家庭带来了极大的伤害。

因此，老师推搡孩子的行为是不合法的，它违反了教育部门的相关规定，并可能触犯法律。作为教师，应当尊重学生的人格尊严，采用合理、合法的方式进行教育和管理，避免任何形式的体罚行为。如果家长或学生发现教师有体罚行为，应及时向学校或教育部门举报，以维护学生的合法权益。