结论：根据您描述的情况，员工每日工作不超过4小时，但按规定接受公司管理，且公司按月支付工资，该员工与公司之间很可能构成劳动关系。
分析：
劳动关系的认定标准：
- 劳动关系通常基于双方之间的合意，即劳动者提供劳动力，用人单位支付报酬，并接受用人单位的管理和指挥。
- 工作时间的长短并不是决定劳动关系是否存在的唯一因素。即使每日工作时间较短，只要劳动者接受用人单位的管理，并为其提供劳动，且用人单位支付报酬，就可能构成劳动关系。
您描述的具体情况：
- 员工每日工作不超过4小时，这并不影响劳动关系的认定。因为劳动关系并不要求劳动者必须全天候工作。
- 员工按规定接受公司管理，这是劳动关系的重要特征之一。管理包括工作安排、考勤、纪律等各方面的约束。
- 公司按月支付工资，这是劳动关系中用人单位对劳动者的基本义务之一。工资的支付方式、周期等并不影响劳动关系的本质。
可能的法律后果：
- 如果该员工与公司之间构成劳动关系，那么公司就需要承担作为用人单位的法律责任，如支付社会保险、提供劳动保护、遵守劳动法规等。
- 如果公司未按照劳动法规履行义务，员工有权向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，维护自己的合法权益。
建议：
- 对于公司而言，应明确与员工之间的法律关系，确保符合劳动法规的要求，避免不必要的法律风险。
- 对于员工而言，如果对自己的法律关系有疑问，可以与公司进行沟通确认，或者咨询专业律师以获取更准确的法律意见。
进一步思考：
- 在实际操作中，劳动关系的认定可能涉及更多细节和证据，如劳动合同、工作记录、工资单等。因此，在具体案件中，需要综合考虑各种因素来作出判断。
- 如果员工与公司之间对劳动关系存在争议，可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来解决。在这个过程中，专业律师的协助将是非常重要的。
如果您有进一步的法律问题或需要更详细的法律意见，请直接向我咨询。