结论：国企一级公司通常有权将三级公司中层副职调往另一家二级公司，但具体能否实施需结合公司章程、内部管理制度以及劳动合同的约定来综合判断。
分析说明：
公司治理结构角度：
- 在国企的治理结构中，一级公司作为上级管理单位，通常对下属的二级、三级公司具有管理权。这种管理权包括但不限于人事任免、岗位调整等。
- 如果公司章程或内部管理制度中明确规定了一级公司对下属公司人事调整的权限和程序，那么一级公司有权按照这些规定进行人员调动。
劳动合同角度：
- 员工与三级公司签订的劳动合同中，通常会约定员工的工作岗位、工作地点等条款。如果劳动合同中没有明确禁止或限制员工被调动到其他公司或岗位，那么一级公司在进行调动时，只需确保调动过程符合劳动合同的约定以及相关法律法规的规定。
- 如果劳动合同中有相关限制条款，一级公司需要与员工进行协商，并达成一致意见后才能进行调动。否则，可能构成违约，需要承担相应的法律责任。
实际操作角度：
- 在实际操作中，一级公司进行人员调动时，通常会考虑员工的个人意愿、职业发展、家庭情况等因素，以确保调动的合理性和可行性。
- 同时，一级公司也需要与接收调动的二级公司进行沟通，确保二级公司能够接纳并合理安排调动员工的工作岗位和职责。
特殊场景：
- 如果三级公司中层副职的调动涉及到特殊岗位（如财务、审计等敏感岗位）或特殊情况（如员工正在接受纪律审查、调查等），一级公司在进行调动时需要更加谨慎，并确保调动过程符合相关法律法规和公司内部管理制度的规定。
行动建议：
- 如果您是国企一级公司的管理人员，计划将三级公司中层副职调往另一家二级公司，建议您先查阅公司章程和内部管理制度，了解人事调整的权限和程序。
- 同时，与调动员工进行沟通，了解其个人意愿和职业发展需求，确保调动的合理性和可行性。
- 如果调动过程中遇到任何法律问题或纠纷，建议您及时咨询专业律师，以确保调动过程的合法性和合规性。
法律后果：
- 如果一级公司未经合法程序或违反劳动合同约定进行人员调动，可能构成违约或违法行为，需要承担相应的法律责任，包括但不限于赔偿员工损失、恢复员工原岗位等。
- 因此，在进行人员调动时，一级公司必须确保调动过程的合法性和合规性，以避免不必要的法律风险和纠纷。