当犯罪嫌疑人被羁押两个月期满时，后续的处理方式主要取决于案件的具体情况和法律规定。以下是我为您详细梳理的处理流程和建议：
一、了解羁押期限的法律规定
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限一般不得超过二个月。但如果案情复杂，期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。对于可能判处十年有期徒刑以上刑罚等特定情形，还可以进一步延长羁押期限。因此，羁押两个月期满并不意味着一定会立即释放或移送审查起诉，具体还需看案件进展和法律规定。
二、羁押期满后的可能处理方式
释放或变更强制措施：
- 如果在羁押期限内，公安机关已经完成了案件的侦查工作，且认为不需要继续羁押的，应当立即释放被羁押人或者变更强制措施，如取保候审、监视居住。
- 如果案件尚未侦查终结，但被羁押人符合取保候审或监视居住条件的，也可以依法申请变更强制措施。
移送审查起诉：
- 如果案件已经侦查终结，公安机关会将案件移送检察机关审查起诉。此时，被羁押人可能会继续处于羁押状态，直至法院作出判决。
- 在审查起诉阶段，检察机关会根据案件事实和证据情况，决定是否提起公诉。
延长羁押期限：
- 如果案件属于流窜作案、结伙作案等重大复杂情形，且需要延长羁押期限的，公安机关可以依法申请延长。
- 延长羁押期限需要经过严格的审批程序，并通知被羁押人的家属或辩护人。
国家赔偿：
- 如果羁押期满后，发现被羁押人不构成犯罪或不应追究刑事责任的，被羁押人有权申请国家赔偿。
- 国家赔偿包括支付赔偿金、恢复名誉、赔礼道歉等方式。
三、建议与注意事项
密切关注案件进展：
- 被羁押人或其家属应密切关注案件的进展情况，及时了解羁押期限是否届满以及后续的处理方式。
申请变更强制措施：
- 如果认为被羁押人不符合继续羁押的条件，可以向公安机关或检察机关申请变更强制措施，如取保候审或监视居住。
寻求法律援助：
- 被羁押人或其家属可以聘请律师提供法律帮助，律师可以协助了解案件进展、申请变更强制措施或准备国家赔偿申请等。
准备国家赔偿申请：
- 如果发现被错误羁押，应及时准备国家赔偿申请材料，包括羁押证明、无罪或不应追究刑事责任的证明等，并按照法定程序提出申请。
总之，羁押两个月期满后的处理方式取决于案件的具体情况和法律规定。被羁押人或其家属应密切关注案件进展，及时了解后续处理方式，并在必要时寻求法律援助以维护合法权益。