撤销劳动仲裁协议（裁决）的机构主要取决于裁决的类型，具体分为以下两种情况：
一、终局裁决的撤销机构
撤销机构：
- 对于终局裁决，用人单位若认为存在法定可撤销情形，需向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院提出申请。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第四十九条，用人单位在有证据证明仲裁裁决存在以下情形之一时，可申请撤销：
- 适用法律、法规确有错误的；
- 劳动争议仲裁委员会无管辖权的；
- 违反法定程序的；
- 裁决所根据的证据是伪造的；
- 对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据的；
- 仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为的。
后续处理：
- 人民法院经组成合议庭审查核实，若确认存在上述情形之一，应裁定撤销裁决。仲裁裁决被撤销后，当事人可在收到裁定书之日起十五日内就该劳动争议事项向人民法院提起诉讼。
二、非终局裁决的撤销途径
撤销途径：
- 对于非终局裁决，用人单位不能直接向法院申请撤销，而应通过诉讼途径解决。
- 若用人单位对非终局裁决不服，可自收到仲裁裁决书之日起十五日内向用人单位所在地或劳动合同履行地的基层人民法院提起诉讼。
法律依据：
- 依据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第五十条，当事人对除第四十七条规定的终局裁决以外的其他劳动争议案件仲裁裁决不服，可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。期满未起诉的，裁决书发生法律效力。
三、共同点与注意事项
共同点：
- 无论是终局裁决还是非终局裁决，涉及撤销或诉讼时，均指向了人民法院，只是具体层级和地域有所不同。终局裁决指向中级人民法院，非终局裁决则通常指向基层人民法院。
- 仲裁裁决书在特定条件下可被撤销或通过诉讼改变其法律效力。
注意事项：
- 用人单位在处理劳动仲裁裁决时，应首先明确裁决类型，再根据相应规定选择正确的撤销或诉讼途径，以确保自身权益得到有效维护。
- 劳动者如对仲裁裁决不满，同样可依法向人民法院提起诉讼，无论裁决是否为终局。
- 申请撤销仲裁裁决或提起诉讼时，务必在规定期限内提交充分的证据和申请书，详细说明申请理由，以确保法院能够全面了解并准确判断申请的合理性。
总结来说，撤销劳动仲裁协议（裁决）的机构取决于裁决类型，终局裁决需向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销，非终局裁决则需通过诉讼途径向基层人民法院提起诉讼。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。