关于建设银行信用卡逾期后能协商的最多分期期数问题，这确实是一个涉及多方面因素的复杂情况。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，信用卡逾期后，根据《商业银行信用卡业务监督管理办法》的相关规定，在特殊情况下，如持卡人面临严重的财务困难且仍有还款意愿时，发卡银行可以与持卡人进行平等协商，达成个性化分期还款协议。此协议的最长期限在法律上是不得超过5年，即60期的。但这是法律规定的上限，并不意味着每个逾期持卡人都能协商到这么长的分期期限。
对于建设银行信用卡而言，其常规的分期还款期数（如消费分期、账单分期、现金分期等）通常包括3期、6期、10期、12期、18期、24期等。然而，当涉及到逾期后的协商分期时，具体能够分多少期还款，会受到多种因素的影响：
持卡人的实际还款能力：银行会综合考量持卡人的收入状况、资产情况等，以确定其是否有能力按照分期计划进行还款。如果持卡人的还款能力较弱，银行可能会倾向于提供较短的分期期限。
逾期原因及证明材料：持卡人需要提供合理的逾期原因，如失业、重大疾病等不可抗力因素导致的财务困难，并尽可能提供相关证明材料。这些材料将有助于银行评估持卡人的逾期情况，并据此决定是否同意协商分期以及分期的期限。
过往的信用记录：银行在考虑是否同意协商分期时，也会关注持卡人过往的信用记录。如果持卡人之前有良好的信用记录，银行可能会更倾向于提供较长的分期期限。
银行的具体政策：不同银行对于逾期后协商分期的政策可能有所不同。建设银行会根据自身的风险控制策略和市场情况来制定具体的分期政策。
因此，建设银行信用卡逾期后能协商的最多分期期数并没有一个固定的答案。它取决于持卡人的实际还款能力、逾期原因及证明材料、过往的信用记录以及银行的具体政策等多种因素。
建议：
总之，信用卡逾期后协商分期是一个复杂的过程，需要持卡人与银行进行充分的沟通和协商。希望以上解答能对您有所帮助。