当厂员工被厂里无理由辞退时，可以通过以下途径寻求公职部门的帮助来维护自己的合法权益：

1. 劳动监察部门

   • 职责与作用：劳动监察部门（如劳动监察大队）是负责监督用人单位遵守劳动法律法规的专门机构。它们会对工厂的用工行为进行检查和监管，确保工厂的用工行为合法合规。
   • 具体行动：你可以向劳动监察部门投诉工厂无故辞退的违法行为，并提供劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知等相关证据。劳动监察部门会依法对工厂进行调查核实，如果查证属实，会责令工厂改正违法行为，比如恢复你的工作，或按照法律规定给予你相应的赔偿，并可能对其进行处罚。

2. 劳动仲裁机构

   • 职责与作用：劳动仲裁机构（如劳动争议仲裁委员会）是专门处理劳动争议案件的机构，包括因解除劳动合同引发的争议。
   • 具体行动：如果与工厂之间因辞退问题产生了劳动争议，你可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求工厂支付违法解除劳动合同的赔偿金等。在申请劳动仲裁时，需要提交仲裁申请书及相关证据材料。劳动仲裁委员会会根据双方的陈述和证据进行审理，并作出具有法律效力的裁决。如果工厂不履行裁决结果，你可以向法院申请强制执行。

3. 工会

   • 职责与作用：如果所在工厂有工会，工会作为劳动者的代表组织，有权对用人单位的辞退行为进行监督，并会依据相关规定与工厂进行协商沟通，以维护你的权益。
   • 具体行动：你可以向工会反映情况，工会会介入并与工厂进行协商，尝试为你争取合理的权益。

4. 人民法院

   • 职责与作用：人民法院是国家的司法机关，对各类民事纠纷包括劳动纠纷进行审判。
   • 具体行动：如果你对劳动争议仲裁结果不满意，或者选择直接通过诉讼解决纠纷，都可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。法院会依据法律和事实进行公正审判，作出具有强制执行力的判决。

在寻求公职部门帮助的过程中，你还需要注意以下几点：

• 保留证据：务必保留好所有相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知、工作邮件、聊天记录等。这些证据将对你维护自身合法权益起到关键作用。
• 及时行动：一旦发现被无故辞退，应尽快采取行动，向相关部门投诉或申请仲裁，以免错过维权时机。
• 了解法律：在维权过程中，了解相关的劳动法律法规将有助于你更好地维护自己的权益。

示例说明： 假设你是一名被工厂无故辞退的员工，你首先收集了劳动合同、工资条、辞退通知等证据。然后，你向当地的劳动监察大队投诉了工厂的违法行为，并提供了相关证据。劳动监察大队介入调查后，发现工厂确实存在违法用工行为，于是责令工厂恢复你的工作，并给予你相应的赔偿。如果工厂不履行，你还可以进一步向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或向人民法院提起诉讼。

最后，如果你在维权过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业的法律建议和帮助。