结论：私自锯掉小区内直径为20厘米的梧桐树，这一行为通常是违法的，可能面临行政处罚，若造成较大损失还可能涉及刑事责任。具体处理方式需根据树木的价值、行为人的主观意图及造成的后果等因素综合判断。
法律背景与解释：
行政责任：
- 根据《城市绿化条例》等相关规定，城市内的树木，不论其所有权归属，均受到法律保护，不得随意砍伐、损坏。私自锯掉小区内的梧桐树，若未经相关部门批准，即构成违法行为，可能面临行政处罚，如罚款、责令补种树木等。
刑事责任：
- 若锯掉的树木价值较高，或者行为人出于恶意破坏、报复等目的，造成较大损失的，还可能触犯《刑法》中的故意毁坏财物罪。根据树木的价值和造成的后果，行为人可能面临有期徒刑、拘役或罚金等刑事处罚。
民事责任：
- 除了行政和刑事责任外，行为人还可能因锯掉树木而给小区或其他业主造成损失，需要承担民事赔偿责任。这包括树木的价值损失、因树木缺失导致的环境破坏修复费用等。
具体处理方式：
立即停止行为：
- 若行为尚未完成，应立即停止锯树行为，避免造成更大的损失。
主动报告相关部门：
- 行为人应主动向小区物业、城市绿化管理部门或公安机关报告，说明情况，接受调查和处理。
配合调查与处理：
- 在相关部门进行调查时，行为人应积极配合，提供必要的证据和信息，以便相关部门准确判断行为性质，作出合理的处理决定。
承担相应责任：
- 根据调查结果，行为人应承担相应的行政责任、刑事责任或民事责任。若行为构成犯罪，应依法接受刑事处罚；若造成损失，应依法进行赔偿。
建议与提醒：
- 在进行任何可能涉及公共财产或环境的行为前，应先了解相关法律法规，确保行为合法合规。
- 若对小区内的绿化有改造或调整的需求，应通过合法途径向相关部门提出申请，获得批准后再进行实施。
- 若因个人原因需要处理小区内的树木，应提前与小区物业或其他业主沟通协商，达成共识后再进行操作。
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