针对您提出的“没签合同5个月怎么赔偿”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、公司违法情形及法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同的，用人单位需自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。您已工作五个月而公司未与您签订劳动合同，这一行为明显违反了法律规定。
二、您可主张的权益
双倍工资赔偿：
- 依据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 在您的情况下，从入职第二个月起至第五个月，共计4个月，您有权主张这4个月的双倍工资赔偿。具体计算方式为：月工资（劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，若不足十二个月则按实际工作月数计算）乘以4。例如，若您的月工资为5000元，则公司应额外支付您20000元作为赔偿。
补缴社会保险：
- 用人单位有义务为劳动者缴纳社会保险，即使未签订劳动合同，也应补缴这五个月的社会保险费用，包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险。
劳动关系的认定：
- 即使没有书面劳动合同，您与公司之间的实际用工关系仍然受法律保护，即事实劳动关系成立。您可以通过工作证、工作服、工资发放记录、考勤记录以及同事证言等证据来证明劳动关系。
三、维权途径与建议
与公司协商：
- 首先，您可以尝试与公司进行友好沟通，明确说明法律规定和您的合理诉求（双倍工资赔偿、补缴社会保险以及补签劳动合同）。协商是一种温和且可能快速解决问题的途径。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动监察大队提出投诉。劳动监察部门有权对公司的违法行为进行查处，并责令其改正。在投诉时，您需要准备相关证据材料，如工资支付记录、工作证、考勤记录等，并填写投诉表格，配合劳动监察部门的调查。
申请劳动仲裁：
- 若上述途径均未能解决问题，您可以向当地劳动争议仲裁委员会提出仲裁申请。在申请仲裁时，您需要提交仲裁申请书和证据材料，仲裁委员会将安排开庭审理，并根据双方提供的证据和陈述作出裁决。如对仲裁结果不满意，您可在规定时间内向法院提起诉讼。
四、总结与建议
面对公司未签劳动合同的情况，您应依法维护自己的合法权益。通过了解相关法律知识，您可以明确自己的诉求，并采取适当的维权途径。在维权过程中，务必准备充分的证据来支持您的主张。同时，我也建议您在未来的工作中，注意保留与劳动关系相关的证据材料，以便在需要时能够及时提供。如有更多问题或需要进一步的帮助，请随时咨询专业律师或相关机构。