结论：开车刷视频能否被开除以及是否合法，需根据具体情况判断，若开车刷视频的行为严重违反公司规章制度或劳动纪律，且给公司造成重大损害，公司有权依法解除劳动合同，此行为合法；若公司规章制度未明确规定或解除程序不合法，则公司开除员工的行为可能不合法。
一、从公司规章制度和劳动纪律角度分析
公司规章制度：
- 如果公司有明确的规章制度，规定员工在工作期间不得从事与工作无关的活动，如开车刷视频等，且该规章制度已经过民主程序制定并公示，员工也已知悉，那么员工违反此规定，公司有权依据规章制度进行处罚，包括解除劳动合同。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。
劳动纪律：
- 开车刷视频不仅违反了基本的劳动纪律，即员工在工作期间应专注于工作任务，不得从事与工作无关的活动，还可能构成对公共安全的威胁，如果因此导致交通事故或给公司造成其他损失，公司有权依法追究员工的责任，并可能解除劳动合同。
二、从解除劳动合同的合法性角度分析
合法解除的情形：
- 如果员工开车刷视频的行为严重违反了公司规章制度或劳动纪律，且给公司造成了重大损害，公司有权依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 示例：员工在驾驶公司车辆时刷视频，导致交通事故，给公司造成重大经济损失和声誉损害，公司可以依据规章制度和劳动合同法解除劳动合同。
非法解除的情形：
- 如果公司规章制度未明确规定开车刷视频为违纪行为，或者公司解除劳动合同的程序不合法（如未提前通知员工、未听取员工申辩等），则公司开除员工的行为可能不合法，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付经济补偿。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十三条，用人单位单方解除劳动合同，应当事先将理由通知工会。用人单位违反法律、行政法规规定或者劳动合同约定的，工会有权要求用人单位纠正。用人单位应当研究工会的意见，并将处理结果书面通知工会。
三、建议与提醒
对于员工：
- 在工作期间应严格遵守公司规章制度和劳动纪律，不得从事与工作无关的活动，特别是涉及公共安全的活动，如开车刷视频等。
- 如果对公司的解除劳动合同决定有异议，可以依法向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁，维护自己的合法权益。
对于公司：
- 应制定完善的规章制度，明确员工在工作期间的行为规范，并确保规章制度经过民主程序制定并公示。
- 在解除劳动合同时，应严格遵守法定程序，确保解除行为的合法性，避免引发劳动争议。
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