关于母公司（这里我们统一称为总公司）签约授权分公司开票的合法性问题，这是一个涉及公司法、税法及相关行政法规的综合性问题。以下是对此问题的详细分析：
一、合法性基础
公司法支持：
- 根据《中华人民共和国公司法》的相关规定，分公司不具有法人资格，其民事责任由总公司承担。总公司可以设立分公司，并向公司登记机关申请登记，领取营业执照。这意味着分公司在总公司的授权范围内可以开展业务活动，包括开具发票。
税法合规性：
- 《中华人民共和国发票管理办法》明确规定，对外发生经营业务收取款项的单位和个人，收款方应当向付款方开具发票。因此，只要分公司实际参与了合同对应的业务并收取了款项，其开具发票的行为在法律上是被允许的。
- 税法并未严格禁止总公司签合同、分公司开票的操作模式，但要求业务必须真实，发票与实际交易相符。
二、开票条件与程序
真实业务基础：
- 分公司与客户之间必须存在真实的货物销售、劳务提供或服务交易等经济业务。这是开票行为合法性的前提。
内部授权与统一核算：
- 总公司必须向分公司出具明确的内部授权，授权分公司负责合同业务中的发票开具等相关事宜。
- 总公司与分公司之间应实行统一核算，或至少确保税务处理的合规性，以确保开票行为的合法性和准确性。
税务登记与发票申领：
- 分公司需取得营业执照及国、地税务登记证，这是合法经营和开票的基础。
- 完成税务登记后，分公司可向税务局申领发票，确保开票行为的合法性。
增值税发票开具情况：
- 如分公司是一般纳税人，可与其他一般纳税人互开增值税专用发票。
- 如分公司是小规模纳税人，则通常只能开具普通发票，但可向税务部门申请代开特定税率的专用发票。
三、法律风险与注意事项
业务不真实的风险：
- 如果合同签订与实际业务不匹配，或分公司未实际参与合同对应的业务而纯粹为了开票而开票，将构成虚开发票行为，面临严重的法律后果，包括税务机关的罚款甚至刑事处罚。
税务处理不当的风险：
- 若总公司和分公司在税务处理上没有按照规定进行，可能导致纳税申报不准确，进而面临税务机关的处罚。因此，必须确保税务处理的合规性。
合同纠纷与税务风险：
- 为确保安全合规，企业应确保相关手续齐全、合规，避免出现法律问题。同时，应尽量做到合同、发票、资金三流一致，以降低税务风险。
四、实践建议
明确授权范围：
- 总公司在授权分公司开票时，应明确授权范围，包括业务类型、金额范围、开票对象等关键内容，以确保开票行为在授权范围内进行。
加强内部控制与风险管理：
- 总公司应建立完善的内部控制和风险管理机制，对分公司的开票行为进行监督和指导，确保合规性。
定期报告与沟通：
- 分公司应定期向总公司报告开票情况，接受总公司的监督和指导。同时，总公司和分公司之间应保持密切沟通，及时解决可能出现的问题。
综上所述，总公司签约授权分公司开票在一定条件下是合法的，但需满足公司法、税法及相关行政法规的严格要求。企业在实际操作中应谨慎行事，确保业务的真实性、发票的合规性以及税务处理的正确性，以规避潜在的法律风险。