针对您提出的“生母不肯为私生女上户口，是否可以将她告上法院”的问题，以下是我的详细解答：

首先，要明确的是，父母作为未成年子女的法定监护人，有义务为子女办理户口登记，这是其法定职责之一。如果生母作为法定监护人，拒绝履行这一职责，确实可能构成对子女权益的侵害。

一、法律途径

1. 提起监护权变更之诉：

   • 在特定情况下，如生母长期不履行监护职责，导致子女处于危困状态，其他有监护能力的人（如祖父母、外祖父母等）可以向法院提起诉讼，申请撤销生母的监护人资格，并请求指定自己为新的监护人。
   • 法院在审理此类案件时，会综合考虑子女的权益、生母的监护能力、其他监护人的意愿和能力等因素，作出最有利于子女的判决。
   • 一旦新的监护人被指定，其就有义务为子女办理户口登记。

2. 非婚生子女认领之诉（如涉及亲子关系确认）：

   • 如果生母拒绝承认私生女的亲子关系，导致无法办理户口，非婚生子女或其法定代理人可以向法院提起非婚生子女认领之诉。
   • 法院将通过审理确认亲子关系是否存在，并据此作出判决。
   • 一旦亲子关系得到确认，生母就有义务为子女办理户口登记。

二、实际操作建议

1. 收集证据：

   • 在提起诉讼前，应尽可能收集能够证明生母与子女之间亲子关系的证据，如出生证明、亲子鉴定报告（如可能）、共同生活的照片或视频等。
   • 同时，收集生母拒绝履行监护职责的证据，如聊天记录、证人证言等。

2. 咨询专业律师：

   • 提起诉讼涉及复杂的法律程序和证据规则，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
   • 律师可以帮助评估案件的胜诉可能性，制定诉讼策略，并代表当事人参与诉讼过程。

3. 考虑调解或协商：

   • 在提起诉讼前，也可以尝试与生母进行调解或协商，寻求和解的可能性。
   • 如果能够通过调解或协商达成一致意见，将更有利于子女的成长和家庭的和谐。

三、法律依据

• 《中华人民共和国民法典》第二十七条规定了未成年子女的监护人顺序，包括父母、祖父母、外祖父母等。
• 第三十六条规定了撤销监护人资格的情形，包括怠于履行监护职责等。
• 第三十七条规定了被撤销监护人资格后，仍应继续履行负担的义务。

综上所述，如果生母不肯为私生女上户口，确实可以通过法律途径来维护子女的权益。具体选择哪种法律途径，应根据实际情况和证据情况来决定。同时，也建议在实际操作中咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。