在老人于公共场所摔倒且公共场所无明显过错的情况下，责任划分需根据具体情况综合判断，通常公共场所管理方可能不承担责任或承担较小责任。以下从不同角度详细分析：

一、公共场所管理方的责任基础

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条的规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。这里的关键在于“未尽到安全保障义务”。如果公共场所管理方已经尽到了合理的安全保障义务，如地面清洁无杂物、有防滑措施、设置了警示标志等，且老人摔倒并非因管理方的过错导致，那么管理方通常不承担责任。

二、老人自身责任

1. 自身疏忽：如果老人因自身疏忽，如未注意脚下路况、未遵守公共场所的秩序等导致摔倒，那么老人自身应承担主要责任。
2. 健康状况：如果老人因自身健康状况，如心脏病突发、高血压导致的头晕等摔倒，且这些健康状况与公共场所管理方的行为无关，那么老人自身也应承担相应责任。

三、第三方责任

如果老人摔倒是由第三方行为导致的，如其他行人碰撞、车辆撞击等，那么责任应由第三方承担。在这种情况下，公共场所管理方如果已经尽到了安全保障义务，通常不承担责任。

四、特殊情况下的责任划分

1. 管理方部分过错：如果公共场所管理方在安全保障方面存在部分过错，如地面有轻微湿滑但未设置警示标志，那么管理方可能需承担部分责任。具体责任比例需根据过错程度、损害后果等因素综合判断。
2. 老人特殊状况：如果老人是未成年人或存在精神障碍等特殊情况，公共场所管理方可能需要承担更高的安全保障义务。在这种情况下，即使管理方已经尽到了一定的安全保障义务，但可能仍需承担部分责任。

五、建议与措施

1. 收集证据：在老人摔倒后，应尽快收集现场照片、视频、证人证言等证据，以便后续维权。
2. 协商解决：如果双方对责任划分存在争议，可以尝试通过协商解决。在协商过程中，可以依据相关法律法规和实际情况提出合理的赔偿要求。
3. 法律途径：如果协商无果，可以通过法律途径解决。可以向法院提起诉讼，要求相关责任方承担赔偿责任。在诉讼过程中，需要提供充分的证据证明对方的过错和自身的损害后果。

最后需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，责任划分也需根据具体情况综合判断。如果您或您的家人遇到类似情况，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更准确的法律建议。