结论前置：员工被公司开除时，公司一般情况下无权直接进行罚款，但可根据合法制订的管理制度对员工工资进行绩效考核扣款。公司是否需要支付经济补偿或赔偿金，需根据开除的具体原因及法律规定来判断。

详细分析：

1. 公司无权随意罚款

   • 法律依据：根据《工资支付暂行规定》，用人单位不得克扣劳动者工资，除非符合特定情形，如代扣个人所得税、社会保险费用、法院判决的抚养费/赡养费等。因此，公司没有法定理由随意对被开除员工罚款，否则属于违法行为。
   • 特殊情形下的扣款：若员工因故意或重大过失给公司造成经济损失，公司可以要求员工赔偿损失，但每月扣除的部分不得超过劳动者当月工资的20%，且扣除后剩余工资不得低于当地月最低工资标准。若员工违反公司依法制定并公示的规章制度中关于扣款的规定，且该规章制度符合法律规定的制定程序，公司可以依据制度进行适当扣款，但规章制度应当公平合理。

2. 公司开除员工的合法情形与赔偿情况

   • 合法开除情形：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，公司在以下情形下可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿：

     1. 在试用期间被证明不符合录用条件的；
     2. 严重违反用人单位的规章制度的；
     3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
     4. 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
     5. 因劳动合同无效情形被解除的；
     6. 被依法追究刑事责任的。

   • 违法开除的赔偿：如果单位无故解除劳动合同，即构成违法解除，单位应根据工作年限支付违法解除劳动合同赔偿金，通常为补偿金的双倍。同时，劳动者也可以要求继续履行劳动合同并要求仲裁或者诉讼期间的工资损失。

   • 经济补偿的计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。

3. 权利救济

   • 如果员工认为公司开除时的罚款行为不合理、不合法，可以与公司进行协商，要求其说明罚款依据。
   • 协商不成的，可以向劳动监察部门投诉或者申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

举例说明：

• 假设员工小张因严重违反公司规章制度被开除，且该规章制度明确规定了此类情况下的扣款标准，且该标准合法合理。那么，公司可以根据规章制度对小张进行适当的扣款，但扣款金额需符合上述提到的限制条件。
• 假设员工小李被公司无故开除，且没有违反任何规章制度或法律法规。那么，公司不仅不能对小李进行罚款，还需要根据工作年限支付违法解除劳动合同赔偿金。

总结与建议：

员工被公司开除时，应了解自己的权益和义务，并根据具体情况判断公司是否有权进行扣款。如果公司存在违法行为或不合理扣款，员工应积极采取措施维护自己的合法权益，如与公司协商、向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁等。同时，建议员工在签订劳动合同时，仔细阅读合同条款和公司规章制度，了解自己的权益和义务，以避免不必要的纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。