肇事逃逸后的拘留责任主要由公安机关交通管理部门承担。以下是对这一问题的详细分析：

1. 公安机关交通管理部门的职责：

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，公安机关交通管理部门是负责道路交通安全管理工作的重要部门。在发生交通事故后，特别是肇事逃逸的情况下，公安机关交通管理部门有责任迅速出警，调查事故原因，并依法对肇事者进行处理。
   • 当肇事者逃逸时，公安机关交通管理部门会启动逃逸案件侦破机制，通过调取监控、走访目击者等方式，尽力查找肇事者的下落。一旦找到肇事者，公安机关交通管理部门会依法对其进行拘留，以进一步调查事故情况，并依法追究其法律责任。

2. 拘留的法律依据：

   • 肇事逃逸属于违法行为，根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条的规定，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，可以并处十五日以下拘留。
   • 如果肇事逃逸行为构成犯罪，如交通肇事罪，那么根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，肇事者将面临更严厉的刑事处罚，包括有期徒刑、拘役等。在这种情况下，拘留可能是刑事诉讼程序中的一部分，由公安机关执行，但后续的刑事审判和刑罚执行则由法院和监狱等部门负责。

3. 其他相关部门的协作：

   • 虽然公安机关交通管理部门是肇事逃逸拘留的主要责任部门，但在实际处理过程中，也可能需要其他相关部门的协作。例如，如果肇事者逃逸至其他地区，可能需要当地公安机关的协助；如果肇事者涉及其他违法行为，如盗窃、抢劫等，可能需要与刑侦部门等合作进行调查。

建议与提醒：

• 对于肇事逃逸的行为，我强烈建议肇事者立即向公安机关投案自首，以争取从轻或减轻处罚的机会。同时，受害者或目击者也应及时向公安机关报案，提供相关线索，协助公安机关尽快破案。
• 如果您或您身边的人遇到了肇事逃逸的情况，或者对相关法律问题有疑问，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，提供专业的法律建议和帮助。