物业在处理业主于公共区域收留并喂养流浪狗的问题时，核心原则是平衡公共秩序、安全卫生与业主的善意行为，具体处理方式需分情况讨论：

1. 若喂养行为已影响公共秩序或安全
   根据《民法典》第286条，业主大会或业委会可制定管理规约，对公共区域的使用作出限制。若流浪狗存在伤人、传播疾病、噪音扰民（如夜间吠叫）、污染环境（如排泄物未清理）等情形，物业有权依据规约要求业主停止喂养行为，并清理现场。若业主拒不配合，物业可向城管部门报告，由其依据《动物防疫法》或地方养犬管理条例采取强制措施（如捕捉、隔离）。

2. 若喂养行为未造成实质影响，但物业需履行管理职责
   物业应首先与业主沟通，建议其将流浪狗转移至非公共区域（如自家阳台、车库）喂养，或联系动物保护组织收容。若业主坚持在公共区域喂养，物业可要求其签署《安全承诺书》，明确喂养责任（如承担伤人赔偿、卫生清理等），并定期巡查监督。若业主未履行承诺，物业可依据《物业管理条例》第45条，采取临时管控措施（如设置围挡、张贴警示标识）。

3. 若物业未履行管理职责，业主可维权
   若流浪狗因物业疏于管理（如未及时清理排泄物、未制止业主长期投喂导致狗群聚集）导致业主受伤或财产损失，物业可能因未尽到安全保障义务（依据《民法典》第1198条）承担补充赔偿责任。此时，受害业主可要求物业与直接责任人（喂养业主）共同赔偿。

建议行动步骤：

• 物业：先沟通协商，明确管理边界；若无效，留存证据（如照片、视频、巡查记录）后向城管或街道办报告；同步在公共区域张贴《文明喂养倡议书》，引导业主理性参与动物保护。
  
• 业主：若想长期帮助流浪狗，可联合其他业主推动业委会修订管理规约，设立“临时救助点”并明确管理规则（如喂养时间、清洁责任、免疫要求）；或直接联系动物收容所，避免个人行为引发纠纷。
  

如有具体案例细节（如是否发生伤人事件、物业是否已张贴规约等），可进一步分析责任划分，欢迎随时补充提问。