羁押必要性审查申请应当提交给人民检察院，而非公安机关。以下是详细分析：
一、羁押必要性审查的主体与职责
羁押必要性审查是人民检察院的一项重要职责，旨在确保对犯罪嫌疑人、被告人的羁押措施合法、必要且适当。根据相关法律规定及实践操作，这一审查工作主要由人民检察院的相应部门负责，而非公安机关。具体来说：
第十检察厅（或原刑事执行检察部门）：在人民检察院内部，羁押必要性审查工作通常由第十检察厅（或原刑事执行检察部门）承担。该部门负责对被逮捕的犯罪嫌疑人、被告人是否有继续羁押的必要进行全面审查。
捕诉部门：在侦查阶段，羁押必要性审查可能由侦查监督部门（现多为捕诉部门的一部分）负责；在审判阶段，则由公诉部门负责。这些部门在各自阶段内对羁押必要性进行审查，以确保羁押措施的合法性。
二、羁押必要性审查的申请流程
当犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人认为羁押措施不再必要时，可以向人民检察院提出羁押必要性审查申请。申请流程通常包括以下步骤：
确定申请对象：根据案件所处的阶段（侦查阶段、审查起诉阶段或审判阶段），确定应向哪个人民检察院提出申请。一般来说，应向负责该案件的同级人民检察院提出。
提交申请材料：申请人需要准备书面申请材料，包括申请理由、相关证据等，以充分说明羁押的不必要性。这些材料应详细、具体，以便人民检察院进行审查。
人民检察院审查：人民检察院在收到申请后，将进行羁押必要性审查。审查过程中，人民检察院可能会听取犯罪嫌疑人、被告人的意见，调查相关证据，并综合考虑案件事实、证据、法律适用以及犯罪嫌疑人、被告人的身体状况、社会危险性等多方面因素。
审查结果通知：人民检察院在审查结束后，将在规定时间内将审查结果通知申请人。如果认为不需要继续羁押的，人民检察院将建议办案机关（如公安机关）释放犯罪嫌疑人或者变更强制措施。
三、公安机关在羁押必要性审查中的角色
虽然羁押必要性审查的申请和审查工作主要由人民检察院负责，但公安机关在收到人民检察院关于羁押必要性审查的建议后，也有重要的义务和责任。具体来说：
认真考虑建议：公安机关在收到人民检察院的建议后，应当认真考虑并评估建议的合理性。虽然公安机关并非必须完全采纳人民检察院的建议，但基于法律规定和监督与制约关系，公安机关需要对建议进行详尽的评估。
及时通知处理情况：如果公安机关认为人民检察院的建议合理且符合法律规定，应当及时采取相应的措施（如释放犯罪嫌疑人、被告人或变更强制措施），并在十日以内将处理情况通知人民检察院。
四、实际案例与操作建议
在实际操作中，羁押必要性审查是保障犯罪嫌疑人、被告人合法权益的重要制度。例如，在某起案件中，犯罪嫌疑人因涉嫌犯罪被逮捕并羁押。在羁押期间，其辩护人认为犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，且继续羁押不必要，于是向人民检察院提出了羁押必要性审查申请。人民检察院在审查后认为辩护人的申请有理有据，于是建议公安机关变更强制措施。公安机关在收到建议后，经过评估认为确实无需继续羁押，于是释放了犯罪嫌疑人。
建议：如果您或您的亲友认为羁押措施不再必要，可以向负责该案件的同级人民检察院提出羁押必要性审查申请。在申请过程中，务必准备充分的申请材料，详细说明羁押的不必要性，并积极配合人民检察院的审查工作。同时，也可以咨询我，获取更具体的法律建议和指导。