公安机关在一般情况下无权随意监听犯罪嫌疑人家人的手机，但在特定情况下，如涉及国家安全、恐怖活动等重大刑事案件，且经过严格审批，公安机关有权对嫌疑人家属的手机进行监听。以下是对这一问题的详细分析：
合法监听的情形
法律授权与严格审批：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在立案后，对于危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪、黑社会性质的组织犯罪、重大毒品犯罪或者其他严重危害社会的犯罪案件，根据侦查犯罪的需要，经过严格的批准手续，可以采取技术侦查措施，包括监听通讯设备。这意味着，监听措施必须基于侦查犯罪的需要，并经过严格的审批程序。
- 实施监听通常需要县级以上公安机关负责人批准，并制作采取技术侦查措施决定书。这一程序确保了监听行为的合法性和必要性。
关联性判断：
- 公安机关不会无故监听嫌疑人家属的手机。仅当通过侦查发现家属可能与犯罪活动存在关联，如参与犯罪策划、协助嫌疑人逃避侦查、转移赃款赃物等，或者家属掌握对案件侦破至关重要的信息，且常规侦查手段难以获取时，方可考虑采取技术侦查。
保障期限与用途限制：
- 技术侦查措施的有效期限一般为三个月，复杂、疑难案件可经批准延长，但每次延长不得超过三个月。这确保了监听行为的时效性和针对性。
- 通过监听获取的材料只能用于对犯罪的侦查、起诉和审判，不得用于其他用途。这保护了公民的隐私权，防止了监听信息的滥用。
非法监听的情形
缺乏法律授权或超越权限：
- 如果办案人员所属机关没有法律赋予的监听权力，或者虽有权力但超出了法律规定的适用范围（如对一般治安案件采用监听措施），则属于非法监听。
未经审批或违反审批程序：
- 没有按照法定程序申请并获得批准就擅自进行监听，或者违反审批所限定的范围、对象、期限等要求（如超出批准期限继续监听），也属于非法行为。
公民权益保障与救济途径
- 合法权益保护：公安机关在执行技术侦查时，必须严格遵守法律规定，确保不侵犯公民的合法权益，特别是隐私权和通讯自由权利。
- 咨询与援助：如果当事人认为监听行为侵犯了其合法权益，可以通过合法途径（如申诉、控告）要求有关部门进行审查和处理，以维护自身权益。同时，也可以直接向我咨询相关法律问题，我会提供专业的法律意见和帮助。
实践中的判断与注意事项
- 在实践中，判断监听行为是否合法需要综合多方面因素考量，包括案件性质、监听目的、审批程序、执行过程等。
- 公民应了解自己的权利和法律保护范围，以便在必要时维护自己的合法权益。如果对公安机关的监听行为有疑问或担忧，可以及时咨询专业律师或相关部门。
总结来说，公安机关对嫌疑人家属手机进行监听的合法性取决于具体的情境和程序是否符合法律规定。在实践中，应严格把握监听的合法性和必要性，确保公民的隐私权得到充分保护。如果您或您身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。