在保险代位求偿的情境下，针对您提出的“保险公司代位追偿后起诉交通事故纠纷全责方，交通事故全责方是否可以申请第三方”的问题，以下是我的详细解答：
首先，我们需要明确保险代位求偿权的基本概念和法律依据。根据《保险法》的相关规定，当被保险人因第三方（即全责方）的损害行为导致保险事故发生并遭受损失时，被保险人有权向自己的保险公司申请先行赔付。保险公司在按照保险合同约定向被保险人支付赔款后，即取得代位求偿权，这意味着保险公司有权在赔偿金额范围内向全责方进行追偿。
接下来，针对您的问题，我们分析全责方在保险公司代位追偿并起诉后的法律地位及可能的行动：
全责方的法律地位：
- 在保险公司代位追偿并起诉的情境中，全责方是被告，需要承担因自己的损害行为导致的赔偿责任。
全责方是否可以申请第三方：
- 申请第三方参与诉讼：在诉讼过程中，全责方如果认为有必要，可以申请法院通知与案件有利害关系的第三方参与诉讼，或者自行申请追加第三方作为共同被告（如果第三方与案件有直接的法律关系，如共同侵权等）。但这种情况需要具体分析，并非所有情况下都能成功申请第三方参与。
- 申请第三方承担责任：如果全责方认为存在其他责任方（即第三方）应当共同承担赔偿责任，全责方可以在诉讼中提出抗辩，并提供相关证据支持其主张。然而，这并不意味着全责方可以直接“申请”第三方来承担责任，而是需要通过法律程序来证明第三方的责任，并由法院作出判决。
- 实际操作中的考虑：在实际操作中，全责方是否申请第三方参与诉讼或主张第三方责任，取决于具体的案件事实、证据情况以及法律适用。如果全责方认为第三方确实存在责任，并且有足够的证据支持其主张，那么全责方可以在诉讼中积极提出，并寻求法律途径来维护自己的权益。
全责方的应对策略：
- 在面对保险公司的代位追偿起诉时，全责方应积极应诉，提供相关证据来支持自己的抗辩主张。
- 如果全责方认为存在其他责任方，应在诉讼过程中及时提出，并配合法院进行调查和审理。
- 全责方也可以考虑与保险公司进行协商，寻求和解或调解的可能性，以降低诉讼成本和风险。
综上所述，全责方在保险公司代位追偿并起诉后，并不能直接“申请”第三方来承担责任或参与诉讼，但可以通过法律程序来主张第三方的责任或申请第三方参与诉讼（如果符合法律条件）。在实际操作中，全责方应根据具体情况和法律规定来制定应对策略，以维护自己的合法权益。