结论：网约车车证过期后，车主起诉要求赔偿停运损失，法院是否支持需视具体情况而定，主要取决于车证过期与停运损失之间的因果关系以及车主是否存在过错。
分析：
车证过期与停运损失的因果关系：
- 如果车证过期是导致车辆无法合法运营的直接原因，且因此造成了停运损失，那么车主有权要求赔偿。但关键在于证明这种因果关系，即停运损失确实是由于车证过期导致的。
- 如果车证过期并非导致停运的唯一或主要原因，例如车辆同时存在其他故障或事故导致停运，那么车主可能难以全额获得停运损失的赔偿。
车主的过错责任：
- 车主有义务确保车辆及其相关证件处于合法有效状态。如果车证过期是由于车主的疏忽或故意不办理续期手续导致的，那么车主在起诉要求赔偿时可能会面临一定的法律障碍。
- 法院在审理此类案件时，会考虑车主是否尽到了合理的注意义务，以及车证过期是否可归责于车主。如果车主存在过错，法院可能会减轻或免除对方的赔偿责任。
具体案例与司法实践：
- 在司法实践中，法院会根据具体案件的事实和证据来判定车证过期与停运损失之间的因果关系以及车主的过错责任。
- 例如，如果车主能够证明车证过期是由于相关部门的原因导致的，或者车主在车证过期后立即采取了补救措施但未能及时恢复运营，那么法院可能会支持车主的赔偿请求。
建议：
车主方面：
- 车主应定期检查车辆及其相关证件的有效期，确保及时办理续期手续，避免车证过期导致的法律风险。
- 如果车证确实过期且导致了停运损失，车主应收集相关证据（如车证过期通知、停运记录、损失计算依据等），以便在起诉时证明自己的主张。
对方（如保险公司、其他责任方）方面：
- 如果对方被起诉要求赔偿停运损失，应仔细审查车主提供的证据，评估车证过期与停运损失之间的因果关系以及车主的过错责任。
- 如果认为车主存在过错或车证过期并非导致停运的唯一原因，应在答辩中提出相应的抗辩理由，并提供相关证据支持自己的主张。
后续行动：
- 如果您是车主且面临此类问题，建议您直接向我咨询，提供详细的案件事实和证据材料，以便我能够为您制定更具体的法律策略。
- 如果您是对方且被起诉要求赔偿停运损失，同样建议您直接向我咨询，以便我能够为您评估法律风险并提供相应的法律建议。