关于“未签订劳动合同离职是否需要提前一个月申请”的问题，这确实是一个涉及劳动者权益的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：
一、基本原则
首先，需要明确的是，即使未签订书面劳动合同，劳动者与用人单位之间也可能已经形成了事实劳动关系。在这种情况下，劳动者离职时是否需要提前申请，以及提前多久申请，通常取决于用人单位是否存在过错以及劳动关系的实际情况。
二、用人单位存在过错时的情形
法定解除权：根据《劳动合同法》第三十八条，如果用人单位存在未提供劳动保护、未及时支付劳动报酬、未依法缴纳社保费、规章制度违法损害劳动者权益、以欺诈胁迫手段订立合同等情形，劳动者有权立即解除劳动合同，无需提前通知用人单位。
特殊情况下即时解除：若用人单位以暴力、威胁或非法限制人身自由等手段强迫劳动，或违章指挥危及劳动者安全，劳动者同样可以立即解除劳动合同，不需事先告知。
未签书面合同的特殊权益：若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，劳动者除了可以随时通知用人单位解除劳动关系外，还有权要求用人单位支付从第二个月起的双倍工资作为赔偿。
三、用人单位不存在过错时的情形
事实劳动关系下的解除程序：在用人单位不存在过错的情况下，即使未签订书面劳动合同，劳动者也应遵守《劳动合同法》第三十七条的规定。对于正式员工，需提前三十日以书面形式通知用人单位解除劳动合同；对于试用期员工，则需提前三日通知。
地区差异与协商：虽然法律规定了明确的通知期限，但各地司法实践可能存在差异。部分地区可能会基于用人单位未签订书面劳动合同的过错，在一定程度上放宽对劳动者通知期限的要求。同时，双方也可以通过友好协商，就离职手续和时间达成一致。
四、实际操作建议
友好协商：在遇到未签订劳动合同离职的情况时，我建议您首先与用人单位进行友好协商，明确自己的权益和义务，以避免不必要的纠纷。
了解法律权益：在协商过程中，您可以了解并主张自己因用人单位未签订劳动合同而应享有的权益，如双倍工资赔偿等。
法律途径维权：若协商不成，您可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。在申请劳动仲裁时，请确保提供充分的证据来支持您的主张。
综上所述，未签订劳动合同离职是否需要提前一个月申请，取决于用人单位是否存在过错及劳动关系的实际情况。在任何情况下，我都建议您遵循法定程序或双方约定，确保离职过程的合法性和顺畅性。同时，也请您了解并掌握自己的法律权益，以便在必要时采取法律手段保护自己的合法权益。