私下签订的协议，在公证后是具有法律效力的，但前提是该协议本身在公证前已经满足法律效力的基本条件。以下是对这一问题的详细分析：

一、协议具有法律效力的基本条件

1. 行为人具有相应的民事行为能力：

   • 签订协议的当事人必须具备完全民事行为能力，即年满18周岁且精神健康的自然人，或者16周岁以上以自己的劳动收入为主要生活来源的未成年人。这是协议有效的前提条件，确保当事人能够独立实施民事法律行为。

2. 意思表示真实：

   • 协议内容需为当事人内心真实意愿的表达，无欺诈、胁迫、重大误解等情形。公证过程虽然可以增强协议的证明力，但无法改变当事人意思表示的真实性。因此，在公证前，必须确保协议内容真实反映了当事人的意愿。

3. 不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗：

   • 协议内容需符合法律规定，不得损害国家利益、社会公共利益和他人合法权益，也不得违背社会公德和善良风俗。这是协议有效的法律底线，任何违反法律或公序良俗的协议都将被视为无效。

二、公证对协议法律效力的影响

1. 增强证明力：

   • 公证是公证机构根据自然人、法人或者其他组织的申请，依照法定程序对民事法律行为、有法律意义的事实和文书的真实性、合法性予以证明的活动。公证后的协议具有更强的证明力，可以在诉讼或仲裁中作为有力证据使用。

2. 不改变协议本身的法律效力：

   • 公证过程并不改变协议本身的法律效力。如果协议在公证前已经满足法律效力的基本条件，那么公证后该协议仍然有效；如果协议在公证前存在瑕疵或无效情形，那么公证也无法使其变得有效。

三、特殊情况下的考虑

1. 特殊类型的协议：

   • 某些特殊类型的协议，如涉及不动产转让、知识产权转让等，可能需要办理相关登记或批准手续才能生效。在这种情况下，即使协议已经公证，也需要完成相关手续才能产生法律效力。

2. 协议内容的合法性审查：

   • 在公证过程中，公证机构会对协议内容进行合法性审查。如果发现协议内容存在违法或违背公序良俗的情形，公证机构将拒绝公证。因此，在签订协议时，当事人应确保协议内容合法合规，以避免公证失败或协议无效的风险。

四、建议

1. 在签订协议前咨询专业律师：

   • 鉴于私下签订协议的复杂性及其可能涉及的法律风险，建议在签订前咨询专业律师以确保协议的合法有效性。律师可以根据当事人的具体情况和需求，提供针对性的法律建议和指导。

2. 注意保留协议签订过程中的相关证据：

   • 在签订协议过程中，当事人应注意保留相关证据，如沟通记录、签字确认等。这些证据可以在未来发生纠纷时作为有力支持，帮助当事人维护自己的合法权益。

总结来说，私下签订的协议在公证后是具有法律效力的，但前提是该协议本身在公证前已经满足法律效力的基本条件。如果你有任何关于合同纠纷的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。