结论：追加股东承担补充赔偿责任，一般可以由原来的法院执行，但也存在例外情况。以下从不同角度为你详细分析：
执行法院的一般原则
在民事执行程序中，通常遵循“执行管辖与审判管辖相一致”的原则。也就是说，如果生效法律文书（如判决书、裁定书等）是由某一法院作出的，那么该法院一般就具有对该生效法律文书所确定义务的执行管辖权。当公司债权人依据生效法律文书，要求追加股东承担补充赔偿责任时，若该生效法律文书是由原来的法院作出的，那么原则上原来的法院就有权对该追加的赔偿责任进行执行。
举例：A公司因经营不善，拖欠B公司货款100万元，经法院审理判决A公司偿还B公司货款及利息。判决生效后，A公司无力偿还，B公司发现A公司的股东C存在未足额出资的情况，于是通过法律程序追加C为被执行人，要求其在未出资范围内承担补充赔偿责任。由于该判决是由某法院作出的，那么该法院就有权对C应承担的补充赔偿责任进行执行。
存在例外的情况
- 执行法院管辖权转移：在某些特殊情况下，执行法院的管辖权可能会发生转移。例如，上级法院可以根据工作需要，将本院管辖的执行案件交下级法院执行；或者下级法院认为案件重大、复杂，需要由上级法院执行的，可以报请上级法院执行。如果原来作出生效法律文书的法院将该执行案件进行了转移，那么追加股东承担补充赔偿责任的执行就可能由新的法院负责。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百三十一条规定，上级人民法院可以依照法律规定的精神，将本院管辖的第一审民事案件交下级人民法院审理。在执行程序中，也存在类似的管辖权调整情况。
- 涉及多个法院管辖：如果追加股东承担补充赔偿责任的案件涉及多个法院的管辖范围，例如股东的财产分布在不同的地区，且这些地区分别属于不同法院的管辖范围，那么就可能出现多个法院都有管辖权的情况。在这种情况下，可能会根据具体情况确定由其中一个法院执行，或者由相关法院协商确定执行方案。
- 举例：股东D的财产一部分在甲地，一部分在乙地，甲地和乙地分别属于不同的法院管辖。当需要执行D承担的补充赔偿责任时，就可能涉及到多个法院的管辖问题，需要进一步协调确定执行法院。
法律建议
- 及时了解执行进展：如果你是公司债权人，在追加股东承担补充赔偿责任后，要及时与原来的法院沟通，了解执行进展情况，包括是否已经对股东的财产进行了查封、冻结等措施，以及执行过程中是否存在问题等。
- 提供财产线索：积极向执行法院提供股东的财产线索，如银行账户、房产、车辆等信息，以便法院能够及时采取执行措施，保障你的合法权益。
- 关注管辖权变化：如果发现执行法院的管辖权可能发生变化，或者存在多个法院管辖的情况，要及时与相关法院沟通，了解情况，确保执行工作能够顺利进行。
如果你在追加股东承担补充赔偿责任执行过程中遇到任何问题，都可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。