针对您提出的问题，即事实无人抚养儿童的监护人姑姑不想继续担任监护人时应该如何处理，我们可以从法律的角度进行详细解答。
首先，我们需要明确的是，监护人的职责是保护被监护人的身体健康、照顾被监护人的生活、管理和教育被监护人，这是一项法定义务。然而，在某些情况下，监护人可能由于各种原因无法或不愿继续履行这一职责。
当姑姑作为监护人不想继续担任时，她应当首先考虑的是被监护儿童的权益和福祉。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如果监护人怠于履行监护职责，或者无法履行监护职责且拒绝将监护职责部分或全部委托给他人，导致被监护人处于危困状态，人民法院可以根据有关个人或者组织的申请，撤销其监护人资格，并安排必要的临时监护措施，同时按照最有利于被监护人的原则依法指定新的监护人。
在实际操作中，姑姑可以采取以下步骤：
与相关部门沟通：姑姑可以首先与当地的民政部门或儿童保护机构进行沟通，说明自己无法继续担任监护人的原因，并寻求他们的帮助和指导。
提出变更监护人的申请：在得到相关部门的支持后，姑姑可以正式向人民法院提出变更监护人的申请。申请时需要提供相关证据，证明自己无法继续履行监护职责，以及变更监护人符合被监护人的最佳利益。
法院审理与判决：人民法院将依法审理此案，考虑被监护人的权益、姑姑的实际情况以及可能的新的监护人的能力和意愿等因素，作出是否变更监护人的判决。
指定新的监护人：如果法院判决变更监护人，那么将按照最有利于被监护人的原则，依法指定新的监护人。新的监护人可以是其他有监护能力的亲属、朋友，或者是民政部门、儿童福利机构等。
在整个过程中，最重要的是要确保被监护儿童的权益得到充分保护。因此，姑姑在提出变更监护人的申请时，应当充分考虑被监护人的意愿和利益，确保变更监护人不会对其造成不利影响。
最后，我想强调的是，监护人的变更是一项严肃的法律程序，需要遵循相关法律法规的规定。如果您或您身边的人遇到类似情况，建议及时咨询专业律师或相关部门的意见，以确保程序的合法性和有效性。